Question

1.Uczeń ma w dzienniku tylko piątki, czwórki i trójki. Piątek ma 4 razy mniej niż czwórek, a trójek ma o 12 wiecej niż czwórek. Średnia jego ocen jest mniejsza niż 3,5. Ile ma piątek, czwórek i trójek?

2 Działki kwadratową i prostokątną o polu po 25 arów każda trzeba ogrodzić siatką. Wymiary działki prostokątnej pozostają w stosunku 5:10. Oblicz stosunek długości obwodów tych działek

Answer 1

zad1

p - ilość ocen 5         ;       5p - suma ocen 5

c - ilość ocen 4         ;       4c - suma ocen 4

t - ilość ocen 3         ;       3t - suma ocen 3

 

z treści zadania wynika że :  4p=c => p=c/4  i t-12=c => t=c+12

 

5p+4c+3t - suma wszystkich ocen

p+c+t - ilość wszystkich ocen

 

(5p+4c+3t)/(p+c+t) < 3,5   / x (p+c+t)

5p+4c+3t<3,5(p+c+t)

za p podstawiamy c/4 , a za t podstawiamy c+12

5c/4+4c+3(c+12)<3,5(c/4+c+c+12) / x 4

5c+16c+12c+144<14(c/4+2c+12)

33c+144< 3,5c+28c+168

33c-31,5c<168-144

1,5c<24 / :1,5

c <16

 

ilość ocen (4) powinna być mniejsza od 16 aby było spełnione rozwiązanie

ponadto wiemy , że piątek jest 4x mniej niż czwórek dlatego ilość czwórek powinna być mniejsza od 16 i podzielna przez 4. najbliższą taką liczbą jest liczba 12.

Tak więc przyjmujemy że uczeń miał 12 czwórek i na tej podstawie obliczamy ilości pozostałych ocen z w/w wzorów  p=c/4  i t=c+12

p=12/4=3 - tyle było piątek

t=12+12= 24 - tyle było trójek

spr

obliczamy średnią (powinna wynosić poniżej 3,5)

(5x3+4x12+3x24)/(3+12+24)= 15+48+72/39=135/39=3,4615

 

piątek (3szt) ma 4x mniej niż czwórek (12szt) 12/3=4

trójek (24szt) ma o 12 więcej niż czwórek (12szt) 24-12=12

rozwiązaniem w/w nierówności są jeszcze liczby 8 i 4

 

dla c=8 (8 czwórek)

p=8/4=2 (2 piątki)

t=8+12=20 (20 trójek)

 

dla c=4 (4 czwórki)

p=4/4=1 (1 piątka)

t=4+12= 16 (16 trójek)

 

zad2

1ar = 100m2  czyli 25arów=2500m2

 

pole kwadratowej działki P=a^2  podstawiając do wzoru za P 2500 obliczymy bok działki 2500=a^2  => a=50m

obwód kwadratowej działki Obw=4a=200m

 

pole prostokątnej działki P=a x b przyczym stosunek a : b wynosi 5:10 = 1:2 czyli 2a=b 

 

2500=axb 

2500=a x 2a 

2500=2a^2 / 2

a^2=1250

a^2= 625*2

a=25pierwiastkw kw z 2

 

b=2a

b=2 x 25pierwiastków kw z 2=50pierwiastków kw z 2

 

p=b x a= 50pierwiastków kw z 2  x 25pierwiastków kw z 2=1250 x 2= 2500m2

obwód prostokątnej działki

Obw= 2b+2a=2x50pierwiastków kw z 2+2x25pierwiastków kw z 2=150pier kw z2

 

stosunek długości obwodow tych działek

obw kwadrata/obw prostokąt

 

200:150pier kw z 2 = 4:3pier kw z 2

Answer 2

 

Zad.1.

x - ilość piątek

4x - ilość czwórek

4x+12 - ilość trójek

 

5x - "warość" piątek

4*4x - "wartość" czwórek

3(4x+12) - "wartość" trójek

 

 

Z nierówności wyszło nam, że ilość piątek jest mniejsza niż 4 i na pewno jest liczbą naturalną dodatnia, tzn., ze x={1,2,3}

 

Musimy rozpatrzyć 3 przypadki.

 

Dla x=1

 

Liczba piątek: 1

Liczba czwórek: 4

Liczba trójek: 16

Wtedy średnia wyiesie 3,28

 

Dla x=2

 

Liczba piątek: 2

Liczba czwórek: 8

Liczba trójek: 20

Średnia wyniesie 3,4

 

Dla x=3

 

Liczba piątek: 3

Liczba czwórek: 12

Liczba trójek: 24

Wówczas średnia wyniesie 3,46

 

Wszystkie przypadki są możliwe.

 

Gwiazdką oznaczyłam nierowność, której wykonywałam mnożenie obu stron nierówności. Normalnie w takich przypadkach mnoży się przez kwadrat mianownika, aby być pewnym, że nierówność nie zmieni znaku. W tym przypadku można było ten element pominąć, bo wyrażenie w mianowniku na pewno jest liczbą dodatnia (x wyraża liczbę ocen, więc musi być liczbą większą od zera).

 

 

Zad.2.

 

1 ar=100 m^2

Pole działki kwadratowej i prostokątnej: 25a=2500 m^2

 

Działka prostokątna

 

Stosunek boków prostokąta to 5:10 ( tyle samo, co 1:2), tzn, że jeśli jeden z boków oznaczymy jako a, to drugi bok będzie miał dlugość 2a.

 

Pole tej działki to:

 

Obwód prostokąta:

 

 

Działka kwadratowa

 

 

 

Stosunek obwodu działki prostokątnej do obwodu dzialki kwadratowej

 

 

Stosunek obwodu dzialki prostokątnej do kwadratowej wynosi