Question

1.Suma dwóch liczb jest równa 800.Jeżeli jedną z nich zwiększymy o 25% a drugą zmniejszymy o 20% to ich suma zmniejszy się o 52.Co ta za liczby?
2.Stosunek dwóch liczb jest w stosunku 3:4 a suma ich kwadratów wynosi 100.Jakie to liczby.
3.Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 308.Jeżeli większą z nich podzielimy przez mniejszą to otrzymamy iloraz 7 oraz resztę28. Wyznacz te liczby

Answer 1

1.Suma dwóch liczb jest równa 800.Jeżeli jedną z nich zwiększymy o 25% a drugą zmniejszymy o 20% to ich suma zmniejszy się o 52.Co ta za liczby?

x, y - szukane liczby
x + 25%x = x + 0,25x = 1,25x
y - 20%y = y - 0,2y = 0,8y
800 - 52 = 748

{ x + y = 800
{ 1,25x + 0,8y = 748

{ x = 800 - y
{ 1,25(800 - y) + 0,8y = 748

{ x = 800 - y
{ 1000 - 1,25y + 0,8y = 748

{ x = 800 - y
{ -1,25y + 0,8y = 748 - 1000

{ x = 800 - y
{ -0,45y = - 252 /:(- 0,45)

{ x = 800 - y
{ y = 560

{ x = 800 - 560
{ y = 560

{ x = 240
{ y = 560

Spr.
240 + 560 = 800
240 + 25%*240 = 240 + 60 = 300
560 - 20%*560 = 560 - 112 = 448
300 + 448 = 748

2.Stosunek dwóch liczb jest w stosunku 3:4 a suma ich kwadratów wynosi 100.Jakie to liczby.

x, y - szukane liczby
zakładam, że x < y

{ x : y = 3 : 4 /*y
{ x² + y² = 100

{ x = ¾*y
{ (¾*y)² + y² = 100

{ x = ¾*y
{ ⁹/₁₆*y² + y² = 100

{ x = ¾*y
{ ⁹/₁₆*y² + ¹⁶/₁₆*y² = 100

{ x = ¾*y
{ ²⁵/₁₆*y² = 100 /*(¹⁶/₂₅)

{ x = ¾*y
{ y² = 100 *¹⁶/₂₅

{ x = ¾*y
{ y² = 64
czyli będą dwa rozwiązania
1.
{ x₁ = ¾*y₁
{ y₁ = √64

{ x₁ = ¾*y₁
{ y₁ = 8

{ x₁ = ¾*8
{ y₁ = 8

{ x₁ = 6
{ y₁ = 8

2.
{ x₂ = ¾*y₂
{ y₂ = - √64

{ x₂ = ¾*y₂
{ y₂ = - 8

{ x₂ = ¾*(- 8)
{ y₂ = - 8

{ x₂ = - 6
{ y₂ = - 8

Spr.
{ x₁ = 6
{ y₁ = 8

6 : 8 = 3 : 4
6² + 8² = 36 + 64 = 100

{ x₂ = - 6
{ y₂ = - 8
- 6 : (- 8) = 3 : 4
(- 6)² + (- 8)² = 36 + 64 = 100

Odp. Szukane liczby to 6 i 8 lub - 6 i - 8

3.Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 308.Jeżeli większą z nich podzielimy przez mniejszą to otrzymamy iloraz 7 oraz resztę28. Wyznacz te liczby.

x, y - szukane liczby naturalne
x > y

{ x + y = 308
{ x = 7y + 28

{ 7y + 28 + y = 308
{ x = 7y + 28

{ 7y + y = 308 - 28
{ x = 7y + 28

{ 8y = 280 /:8
{ x = 7y + 28

{ y = 35
{ x = 7*35 + 28

{ y = 35
{ x = 245 + 28

{ x = 273
{ y = 35

Spr.
273 + 35 = 308
273 : 35 = 7 r. 28

Odp. Szukane liczby to 273 i 35.