Question

Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej jeśli wiadomo że przyjmuje ona wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x∈(-∞;-2)+(3;+∞) a jej zbiorem wartości jest przedział(-∞;12½>.

Answer 1

Szukamy funkcji f(x) = ax² + bx + c, której wykresem jest parabola o równaniu y = ax² + bx + c

Z informacji, że f(x) < 0 dla x∈(-∞; -2) U (3; +∞) wynika, że miejsca zerowe tej funkcji to x₁ = - 2 i x₂ = 3, czyli f(-2) = 0 i f(3) = 0
Z tej samej informacji wynika, że pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji wynosi ½ (jest to środek przedziału (-2; 3).

Z informacji, że zbiorem wartości funkcji jest przedział (-∞; 12½> wynika, że druga współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji wynosi 12½.

Zatem wierzchołek ma współrzędne W = (½; 12½)

Możemy zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej: f(x) = a(x - p)² + q, gdzie p i q to współrzędne wierzchołka paraboli W = (p; q) będącej wykresem funkcji kwadratowej.
W = (½; 12½)
f(x) = a * (x - ½)² + 12½

Obliczamy współczynnik a
Wiemy, że f(-2) = 0 i f(3) = 0
a * (-2 - ½)² + 12½ = 0
a * (-2½)² + 12½ = 0
6¼*a + 12½ = 0
6¼*a = -12½ /:(6¼)
a = - 2

a * (3 - ½)² + 12½ = 0
a * (2½)² + 12½ = 0
6¼*a + 12½ = 0
6¼*a = -12½ /:(6¼)
a = - 2

Możemy zapisać szukany wzór funkcji w postaci kanonicznej
f(x) = - 2*(x - ½)² + 12½
Przekształcając ten wzór otrzymany wzór w postaci ogólnej
f(x) = - 2*(x - ½)² + 12½ = - 2*(x² - x + ¼)² + 12½ = -2x² + 2x - ½ + 12½ = -2x² + 2x + 12

Odp. Postać ogólna wzoru funkcji: f(x) = -2x² + 2x + 12
Wykres tej funkcji w załączniku