Question

Dla jakich wartości parametru a równanie:
x^2-2(a-2)x-4a=0 ma rozwiązania rzeczywiste dla jakich rozwiązania są znaków przeciwnych dla jakich oba rozwiązania są liczbami dodatnimi???

Answer 1

x²-2(a-2)x-4a=0

x²-(2a-4)x-4a=0

Δ=b²-4ac

Δ=[-(2a-4)]²-4*1*(-4a)=4a²-16a+16+16a=4a²+16

równanie ma rozwiązania, gdy Δ≥0

4a²+16≥0

Δ₁=-4*4*16=-16*15=-256 <0

a więc funkcja nie ma miejsc zerowych, patrzymy więc na współczynnik a: a>0, więc ramiona paraboli skierowane do góry i brak miejsc zerowych, więc funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc delta dla a∈R jest większa od 0.

Czyli dla a∈R funkcja ma rozwiązania rzeczywiste.

 

Aby rozwiązania były różnych znaków, musi zachodzić warunek:

x₁*x₂<0

(bo mnożąc liczbę dodatnią i ujmeną możemy otrzymać tylko wynik ujemny)

w wzorów Viete'a wiemy, że x₁*x₂=c/a

c/a<0

-4a/1<0

-4a<0 (dzielę obustronnie przez -4 i zmieniam znak na przeciwny)

a>0

Dla a∈(0;+∞) rozwiązaniem równania są liczby o przecwinych znakach.

 

Aby rozwiązania były liczbami dodatnimi, to ich iloczyn musi być liczbą dodatnią oraz ich suma także.

x₁*x₂>0

x₁*x₂=-4a (to wyliczyłam wyżej)

-4a>0

a<0

i jeszcze jeden warunek:

x₁+x₂>0

x₁+x₂=-b/a=2(a-2) /1 = 2(a-2)=2a-4

2a-4>0

2a>4

a>2

szukamy części wspólnej: nie ma takiego przedziału, więc rozwiązaniem równania nie mogą być 2 liczby dodatnie.

 

W razie pytań, pisz na pw.