Question

1.Sumę kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych podzielono przez 3. Jaką otrzymano resztę? 2.Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n wyrażenie postaci: (n3-n)(n2-4) jest wielokrotnością liczby 60 Jak to rozpisać? i uzasadnic

Answer 1

n,n+1,n+2 ---trzy kolejne liczby naturalne

Reszta wynosi 2.

 Chodzi o wielokrotność liczby 60.

Masz iloczyn pięciu czynników,które są kolejnymi liczbami naturalnymi:

Są to liczby typu:

Dwukrotność liczby 60

Dwunastokrotność liczby 60.

W każdym iloczynie pięciu kolejnych liczb naturalnych  są co najmniej dwie liczby parzyste,jedna lub dwie podzielne przez 3 i jedna podzielna przez 5,to po ich wymnożeniu otrzymamy wielokrotność liczby 60.

Answer 2

z.1

[ n^2 + ( n +1)^2 + ( n +2)^2 ] : 3 = [ n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 1 ] : 3 =

= [ 3 n^2 + 6n + 2 ] : 3 = [ 3 n^2 + 6n ] : 3 + 2 : 3 = n^2 + 2n,  reszta  2

================================================================

z.2

{ n^3 - n ]* [n^2 - 4] =  n*(n^2 - 1)*(( n -2)*(n + 2) = n*( n - 1)*( n + 1)*( n -2)*( n +2) =

= ( n -2)*(n -1)*n*( n +1)*( n + 2)

Jest to iloczyn pięciu kolejnych liczb naturalnych , więc musi być wśród tych czynników liczba podzielna przez 2, liczba podzielna przez 3 , liczba pozdzielna przez 4 i liczba podzielna przez 5,

a więc  dana liczba dzieli się przez 2*3*4*5 = 120  = 60*2

ckd.

============

Dla n = 3    mamy  1*2*3*4*5 = 120  -  liczba pozdielna pzrez 60.