1.stosunek długości przekątnych rombu jest równy 3:4. oblicz pole tego rombu, jeśli jego bok ma dłiu.... Question from @maciejmarcin

November 2018 1 236 Report

1.stosunek długości przekątnych rombu jest równy 3:4. oblicz pole tego rombu, jeśli jego bok ma dłiugość 15 cm.

2.bok rombu ma długość 4 cm, a suma długości jego przekątnych jest równa 10 cm.oblicz pole i wysokość tego rombu.

1
$e, f-$ przekątne rombu
$a=15$ - bok rombu

$\begin{cases}\frac{e}{f}=\frac{3}{4} \\ (\frac{1}{2}e)^2+(\frac{1}{2}f )^2=a^2\end{cases}$

$\begin{cases}e=\frac{3}{4}f \\ \frac{1}{4}e^2+\frac{1}{4}f^2=15^2\end{cases}$

$\begin{cases}e=\frac{3}{4}f \\ \frac{1}{4}\cdot (\frac{3}{4}f)^2+\frac{1}{4}f^2=225\end{cases}$

$\begin{cases}e=\frac{3}{4}f \\ \frac{1}{4}\cdot \frac{9}{16}f^2+\frac{1}{4}f^2=225\end{cases}$

$\begin{cases}e=\frac{3}{4}f \\ \frac{9}{64}f^2+\frac{1}{4}f^2=225 /\cdot 64\end{cases}$

$\begin{cases}e=\frac{3}{4}f \\ 9f^2+16f^2=14400\end{cases}$

$\begin{cases}e=\frac{3}{4}f \\ 25f^2=14400\ /:25\end{cases}$

$\begin{cases}e=\frac{3}{4}f \\ f^2=576\end{cases}$

$\begin{cases}e=\frac{3}{4}f \\ f= \sqrt{576} \end{cases}$

$\begin{cases}e=\frac{3}{4}f \\ f=24 \end{cases}$

$\begin{cases}e=\frac{3}{4}\cdot 24 \\ f=24 \end{cases}$

$\begin{cases}e=18 \\ f=24 \end{cases}$
=================================
2
$e, f$ - przekątne rombu
$a=4$ - bok rombu
$h$ - wysokość rombu

Obliczam przekątne rombu:
$\begin{cases}e+f=10\\ (\frac{1}{2}e)^2+(\frac{1}{2}f )^2=a^2\end{cases}$

$\begin{cases}e=10-f\\ \frac{1}{4}e^2+\frac{1}{4}f^2=4^2\end{cases}$

$\begin{cases}e=10-f\\ \frac{1}{4}e^2+\frac{1}{4}f^2=16 \ /\cdot 4\end{cases}$

$\begin{cases}e=10-f\\ e^2+f^2=64\end{cases}$

$\begin{cases}e=10-f\\ (10-f)^2+f^2=64\end{cases}$

$\begin{cases}e=10-f\\ 100-20f+f^2+f^2-64=0\end{cases}$

$\begin{cases}e=10-f\\ 2f^2-20f+36=0\end{cases}$
-----------------------
$2f^2-20f+36=0 \ /:2$

$f^2-10f+18=0$

$\Delta=(-10)^2-4\cdot 1\cdot 18=100-72=28$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{28}=2 \sqrt{7}$

$f_1= \frac{10-2 \sqrt{7} }{2}=5-\sqrt{7}$

$f_2= \frac{10+2 \sqrt{7} }{2}=5+\sqrt{7}$
-----------------------
$\begin{cases} e=10-f\\ f=5-\sqrt{7}\end{cases}$ lub $\begin{cases} e=10-f\\ f=5+\sqrt{7}\end{cases}$

$\begin{cases} e=10-(5-\sqrt{7})\\ f=5-\sqrt{7}\end{cases}$ lub $\begin{cases} e=10-(5+\sqrt{7})\\ f=5+\sqrt{7}\end{cases}$

$\begin{cases} e=10-5+\sqrt{7}\\ f=5-\sqrt{7}\end{cases}$ lub $\begin{cases} e=10-5-\sqrt{7})\\ f=5+\sqrt{7}\end{cases}$

$\begin{cases} e=5+\sqrt{7}\\ f=5-\sqrt{7}\end{cases}$ lub $\begin{cases} e=5-\sqrt{7})\\ f=5+\sqrt{7}\end{cases}$

Przekątne rombu są równe: $(5+\sqrt{7})cm$ i $(5-\sqrt{7})cm$

Obliczam wysokość rombu
$ah=\frac{ef}{2}$

$4h=\frac{(5+\sqrt{7})(5-\sqrt{7})}{2}$

$4h=\frac{25-7}{2}$

$4h=\frac{18}{2}$

$4h=9 \ /:4$

$h= \frac{9}{4}cm$