Question

1. Uzupełnij i uzasadnij, że trójmian kwadratowy występujący w nawiasie nie rozkłada się na czynniki liniowe.

a) 2x⁴+x³+x²

b) 18x⁵-3x⁴+6x³

c) -2x⁷+x⁶-x⁵

d) x⁵-2x⁴+√2x³

2. Rozłóż wielomian na czynniki liniowe postępując jak w podpunkcie a).

a) w(x)=x⁴+x³-2x²=x²(x²+x-2)

Δ=1-4(-2)=9

√Δ=3

x₁=⁻¹⁻³/₂=-2

x₂=⁻¹⁺³/₂=1

stąd w(x)=x⁴+x³-2x²=x²(x+2)(x-1)

b) w(x)=4x⁵-6x⁴-10x³

c) w(x)=2x⁶+3x⁵-2x⁴

d) w(x)=6x⁷-8x⁶-8x⁵

3.Rozłóż wielomianw na czynniki

a) w(x)=4x⁵-4x⁴-24x³

b) w(x)=2x⁸-2x⁷+x⁶

c) w(x)=2x⁶+2x⁵+3x⁴

d) w(x)=x⁴-¾x³-x²

e) w(x)=4x⁵+7x⁴-2x³

f) w(x)=-30x⁵+60x⁴-90x³

4. Rozłóż wielomian w na czynniki, korzystając ze wzoru na kwadrat sumy.

a) w(x)=x⁴+6x²+9

b) w(x)=4x⁴+4x²+1

c) w(x)=9x⁴+12x²+4

d) w(x)=x⁴2√2x²+2

e) w(x)=x⁴+x²+¼

Answer 1

1. Uzupełnij i uzasadnij, że trójmian kwadratowy występujący w nawiasie nie rozkłada się na czynniki liniowe.

a) 2x⁴+x³+x² = x²(2x²+x+1) Δ=1-8 < 0

b) 18x⁵-3x⁴+6x³ = 3x³(6x²-x+2) Δ=1-6·2·4 < 0

c) -2x⁷+x⁶-x⁵ = -x⁵(2x²-x+1) Δ=1-8 < 0

d) x⁵-2x⁴+√2x³ = x³(x²-2x+√2) Δ=4-4√2 <0

 

Komentarz: w każdym z powyższych przykładów, po wyłączeniu części wspólnej zostaje nam trójmian którego wyróżnik jest mniejszy od zera zatem dalej się już nie rozkłada

 

2. Rozłóż wielomian na czynniki liniowe postępując jak w podpunkcie a).

 

b) w(x)=4x⁵-6x⁴-10x³= 2x³(2x²-3x-5)

Δ=9+4·2·5=49

√Δ = 7

x₁=(3-7)/4 = 1,25

x₂=(3+7)/4 = 2,5

 

c) w(x)=2x⁶+3x⁵-2x⁴=x⁴(2x²+3x-2)

√Δ=5

x₁=-2

x₂=½

 

d) w(x)=6x⁷-8x⁶-8x⁵ = 2x⁵(3x²-4x-4)

√Δ=8

x₁=-⅔

x₂=2

 

3.Rozłóż wielomian w na czynniki

a) w(x)=4x⁵-4x⁴-24x³ = 4x³(x²-x-6) = 4x³(x+2)(x-3)

b) w(x)=2x⁸-2x⁷+x⁶ = x⁶(2x²-2x+1) Δ < 0 zatem dalej nie da się rozłążyć

c) w(x)=2x⁶+2x⁵+3x⁴ = x⁴(2x²+2x+3) Δ < 0

d) w(x)=x⁴-¾x³-x² = x²(x²-¾x-1) - pierwiastki niewymierne

e) w(x)=4x⁵+7x⁴-2x³ = x³(4x²+7x-2) = x³(x+2)(x-0,25)

f) w(x)=-30x⁵+60x⁴-90x³= -30x³(x²-2x+3) Δ < 0

 

4. Rozłóż wielomian w na czynniki, korzystając ze wzoru na kwadrat sumy.

 

Wzór uproszczonego mnożenia na kwadat sumy to (a+b)² = a²+2ab+b², ZATEM:

a) w(x)=x⁴+6x²+9 = (x²+3)²

b) w(x)=4x⁴+4x²+1 = (2x²+1)²

c) w(x)=9x⁴+12x²+4 = (3x²+2)²

d) w(x)=x⁴+2√2x²+2 = (x²+√2)²

e) w(x)=x⁴+x²+¼ = (x²+½)²