Question

1.Oblicz pole S trapezu równoramiennego, w którym przekątna ma długość d i tworzy z dłuższą podstawą kąt ostry o mierze alfa.

2. oblicz wartości pozostałych funkcji trygometrycznych kąta ostrego o mierze, alfa , jezeli : ctgalfa =3

3. Dla jakich wartości parametru m, podane równanie ma dwa pierwiastki o różnych znakach gdy : (m-1)xdo kwadrratu + 2mx = 3m-2=0

bardzo prosze o rozwiązanie

Answer 1

Zad. 1)

Dane:

d , α

S = ?


S = 0,5(a + b)h

h/d = sinα /*d

h = d*sinα

(b + x)/d = cosα /*d

b + x = d*cosα

c/a = sinα /*a ( c - ramię trapezu)

c = a*sinα

d² + c² = a²

a² = d² + (a*sinα)²

a² - (a*sinα)² = d²

a² - a²sin²α = d²

a²(1 - sin²α) = d²

a²cos²α = d² /:cos²α

a² = d²/cos²α

a = d/cosα

a = b + 2x

b = a - 2x

x² + h² = c²

c = a*sinα

c = d/cosα*sinα

c = d*tgα

x² + (d*sinα)² = (d*tgα)²

x² = d²tg²α - d²sin²α

x² = d²(tg²α - sin²α)

x = d√(tg²α - sin²α)

b = d/cosα - 2d√(tg²α - sin²α)

b = d[(1/cosα - 2√(tg²α - sin²α)]

S = 0,5d*{1/cosα + 1/cosα - 2√(tg²α - sin²α)]*d*sinα

S = 0,5d²*2{1/cosα - √(tg²α - sin²α)]*sinα

S = d²{1/cosα - √(tg²α - sin²α)]*sinα


Zad. 2)

tgα = 3

tgα*ctgα = 1

ctgα = 1/3

sinα/cosα = tgα

sinα/cosα = 3 /* cosα

sinα = 3cosα

sin²α + cos²α = 1

(3cosα)² + cos²α = 1

9cos²α + cos²α = 1

10cos²α = 1/ :10

cos²α = 1/10

cosα = -√1/10 lub cosα = √1/10

cosα = -√10/10 lub cosα = √10/10

sinα = - 3√10/10 lub sinα = 3√10/10


Zad. 3)

(m - 1)x² + 2mx + 3m - 2 = 0

Aby równanie kwadratowe miało 2 pierwiastki o różnych znakach muszą być spełnione następujące warunki:

1) m - 1 ≠ 0

2) Δ > 0

3) x₁*x₂ < 0

m ≠ 1

Δ = (2m)² - 4(m - 1)(3m - 2)

Δ = 4m² - 4(3m² - 2m - 3m + 2)

Δ = 4m² - 4(3m² - 5m + 2)

Δ = 4m² - 12m² + 20m - 8

Δ = - 8m² + 20m - 8

Δ > 0

- 8m² + 20m - 8 > 0 /:(- 2)

4m² - 10m + 4 < 0

Δ₁ = 100 - 64 = 36 √Δ₁ = 6

m₁ = (10 - 6)/8 lub m₂ = (10 + 6)/8

m₁ = 0,5 lub m₂ = 2

(m - 0,5)(m - 2) < 0

m ∈ (0,5 ; 2)

3)

x₁*x₂ < 0

x₁*x₂ = (3m - 2)/(m - 1)

(3m - 2)/(m - 1) < 0

(3m - 2)(m - 1) < 0

3(m - 2/3)(m - 1) <0 / :3

(m - 2/3)(m - 1) <0

m ∈ (2/3 ; 1)


m ≠ 1 i m ∈ (0,5 ; 2) i m ∈ (2/3 ; 1)


m ∈ (2/3 ; 1)

Odp: Równanie kwadratowe ma 2 pierwiastki o różnych znakach dla m∈(2/3 ;1).