Question

1.Oblicz podaną sumę, stosując zwykłe działania arytmetyczne, a następnie korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
A). 1+2+4+...+64
B). 1-3+9-27+81-243+729
C). 32-16+8-4+2-1+0,5-0,25
D). \frac{3}{2} +1+ \frac{2}{3} +...+ \frac{32}{243}

2. nie wiem jak obliczyć pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, liczbę wyrazów ciągu jak mam dane, że q= \frac{1}{2} , ostatni wyraz ciągu wynosi \frac{5}{16} , a suma wynosi \frac{315}{16} .

Answer 1

Z.1
a)
1 + 2 + 4 + 8 +16 + 32 + 64 = 127
a1 = 1 oraz q = 2
an = 64
an = a1*q^(n -1)
czyli 64 = 1*2^(n -1) = 2^(n-1) --> n -1 = 6 , bo 2⁶ = 64
zatem n = 7
S7 = a1*[1 - q⁷]/[1 -q]
zatem S7 = 1*[1 - 2⁷]/[1 -2] = [ 1 - 128]/(-1) = -127 :(-1) = 127
Odp. S7 = 127
b)
1 - 3 + 9 -27 + 81 - 243 + 729 = 820 - 273 = 547
a1 = 1 oraz q = -3
an = a1*q^(n -1)
729 = 1*(-3)^(n -1) = (-3)^(n -1)
n -1 = 6 --> n = 7
a7 = 729
S7 = 1*[1 - (-3)⁷ ]/[1 - (-3)] = [ 1 + 2187]/[1 +3] = 2188/4 = 547
=========================================================
c)
32 - 16 + 8 - 4 + 2 - 1+ 0,5 - 0,25 = 21,25
a1 = 32 oraz q = - 0,5
an = a1*q^(n-1)
-0,25 = 32*(-0,5)^(n -1)
n - 1 = 7 --> n = 8
a8 = -0,25
S8 = 32*[1 - (-0,5)⁸]/ [ 1- (-0,5)] = 32*[1 - (1/2)⁸]/1,5 =
= 32*[1 - 1/256]/(3/2) = 32*[255/256]*(2/3) = 16 320/768 = 21,25
==========================================================
d)
(3/2) +1 + (2/3) + (4/9) + (8/27) + (16/81) + (32/243) =
= (5/2) + (162/243) + (108/243) + (72/243) + (48/243) + (32/243)=
= (5/2) + (422/243) = (1215/486) + (844/486) = (2 059/486)
a1 = (3/2) oraz q = (2/3)
an =( 32/243)
(32/243) = (3/2)* (2/3) ^(n -1) --> (2/3)^(n -1) = (32/243):(3/2)=
= (32/243)*(2/3) = (64/729)
(2/3)^(n -1) = (64/729) --> n -1 = 6 , bo (2/3)⁶ = (64/729)
czyli n = 7
S₇ = (3/2)*[1 - (2/3)⁷]/[1 -(2/3)] =
= (3/2)*[ 1 - (128/2187)]/(1/3) =
= (9/2)*(2 059/ 2 187) = (18 531/4 374) = ( 2 059/486)
==============