Question

1)Oblicz piąty wyraz ciągu(an)którego suma n początkowych wyrazów Sn określona jest wzorem:

Sn=n(2n+1)

2)Oblicz wyraz pierwszy i różnicę r ciągu arytmetycznego (an), gdy :

a) a5=5 i a8= -1

b)a5=2 i a100=97

c)a83=38 i a83= 83

d)a2+a5=8 i a3+a7=17

e)a7-a3=8 i a2*a7=75

f)a4:a6= -1 i a2*a8= -1

proszę o rązwiązanie bardzo pilne

P.S przy każdej literce a na dole znajduje się mała liczba , lecz nie wiem jak to się pisze na kompie , dlatego napisałam w ten sposób

PILNE!!!!!!

Answer 1

z.1

Sn = n*(2n +1)

Mamy

S1 = 1*(2*1 + 1) = 1*3 = 3

zatem a1 = S1 = 3

=================

S2 = 2*(2*2 + 1) = 2*5 = 10

ale S2 = a1 + a2 --> a2 = S2 - a1 = 10 - 3 = 7

a2 = 7

=====

S3 = 3*(2*3 + 1) = 3*7 = 21

ale S3 = a1 +a2 +a3 ---> a3 = S3 - (a1+a2) = 21 -(3 + 7) = 21 - 10 = 11

lub krócej  a3 = S3 - S2 = 21 - 10 = 11

a3 = 11

=========

Ponieważ

a3 - a2 = 11 - 7 = 4  oraz  a2 - a1 = 7 - 3 = 4  zatem ten ciąg jest

ciągiem arytmetycznym, czyli

a1 = 3  oraz  r = 4

zatem z wzoru na n -ty  wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy

a5 = a1 + (5 -1)*r = a1 +  4r = 3 +4*4 = 3 + 16 = 19

Odp.  a5  = 19

======================================================

z.2

a)   a5 = 5     i   a8  = -1

zatem

a5 = a1 + 4r

a8 = a1 + 7r

a8 - a5 = (a1 +7r) - (a1 + 4r) =  3r

ale  a8 - a5 = -1 - 5 = - 6

czyli  3r =  - 6/ : 3

r = -2

======

a1 = a5 - 4r = 5 -4*(-2) = 5 + 8 = 13

Odp.  a1 = 13   i    r = -2

====================================

b)  oraz  c)  rozwiązujemy w ten sam sposób

d)

a2 + a5 = 8   i    a3 + a7 =  17

zatem mamy

(a1 + r) + (a1 + 4r) = 8

(a1 + 2r) + (a1 + 6r) = 17

----------------------------

2 a1 + 5r = 8

2 a1 + 8r = 17

-------------------   odejmujemy stronami

8r - 5r = 17 - 8

3r = 9  / : 3

r =  3

=====

2 a1 = 8 - 5r = 8 - 5*3 = 8 - 15 = - 7 / : 2

a1 =  - 3,5

Odp. a1 = -3,5   oraz  r =  3

=========================

e)

a7 - a3 = 8

a2 * a7 = 75

-----------------

(a1 + 6r) - (a1 + 2r) = 8

4r = 8 / : 4

r = 2

=========

(a1 +r) *(a1 + 6r) = 75

Podstawiamy 2  za r  :

(a1 + 2)*(a1 + 12) = 75

(a1)^2 + 2*a1 + 12 a1 + 24 = 75

(a1)^2 + 14 a1 - 51 = 0

delta = 14^2 - 4*1*(-51) = 196 + 204 = 400

p(400) = 20

a1 = [ -14 - 20]/2 = -34/2 = - 17

lub

a1 = [ -14 + 20]/2 =6/2 = 3

Mamy zatem  2  ciągi:

I )  dla  a1 = -17  oraz  r = 2

II )  dla  a1 = 3    oraz  r = 2

=========================

f)

a4 : a6 = -1

a2 * a8 = -1

------------------

(a1 + 3r) : (a1 + 5r) = - 1  ---> a1 + 3r = -(a1 + 5r)

a1 + 3r = - a1 - 5r

2 a1 = - 8r  / : 2

a1 = - 4r

=======

(a1 +r)* (a1 + 7r) = - 1

wstawiam za a1 ( -4r)

( -4r + r)*( -4r + 7r) = - 1

(-3r)*(3r) = - 1

-9 r^2 = - 1

r^2 = 1/9

r = -1/3     lub   r  = 1/3

zatem

a1  = -4*(-1/3) = 4/3       lub   a1 = -4*(1/3)  = - 4/3

Odp. Mamy 2 ciągi arytmetyczne:

I ) dla   a1 = 4/3    oraz  r = -1/3

II )  dla  a1 = - 4/3     oraz   r =  1/3

====================================