Question

1.Oblicz odległość punktu P od prostej l, gdy:
a) P=(4,0), l: y= -0,7x+3
b)P=(√3, -2√3), l: y= -x+5
2. Napisz równanie symetralnej odcinka AB, gdy:
a) A= (3,1) i B= (-1,7)
b) A= (-1,3) i B= (1,1)
c) A= (1,-3) i B= (5,3)
d) A= (-2,1) i B= (-3,5)
e) A= (2,-1) i B= (4,-5)
f) A= (-3,-2) i B= (1,-4)

Answer 1

Zad. 1)

a)

Dane:

P=(4,0)
l : y = - 0,7x + 3
l : 0,7x + y - 3 = 0

d = |0,7*4 + 1* 0 - 3|/√(0,7² + 1²)

d = | - 0,2|/√(149/100)

d = 0,2/10√149

d = 0,02√149

b)

Dane:

P = (√3, -2√3)
l : y = - x + 5
l : x + y - 5 = 0

d = |1*√3 - 2√3*1 - 5|/√(1² + 1²)

d = | - √3 - 5|/√2

d = √2(√3 + 5)/2

d = (√6 + 5√2)/2

Zad. 2)

a)

Dane:

A = (3,1)
B = (-1,7)

Symatralna odcinka, to prosta przechodząca przez środek odcnka (S) i do niego prostopadła.

l : y =ax + b - równanie symetralnej odcinka

Wyznaczam równanie prostej k , przechdzącej przez punkty A i B:

k : y = mx + n

{ 3m + n = 1
{ - m + n = 7

{ m = 4
{ n = 7 + m

{ m = 4
{ n = 11

k : y = 4x + 11

Prosta k jest prostopadła do prostej l, gdy:

4*a = - 1 /:4

a = - 0,25

l : y = - 0,25x + b

Wyznaczam środek odcinka.

S = [ (xa + xb/2, (ya + yb)/2]

S = (1,4)

Punkt S należy do prostej l, więc:

- 0,25*1 + b = 4

b = 4 + 0,25

b = 4,25

l : y = - 0,25x + 4,25 /*4

l : 4y = - x + 17

l : x + 4y - 17 = 0

b)

Dane:

A (-1,3)
B (1,1)

Symatralna odcinka, to prosta przechodząca przez środek odcnka (S) i do niego prostopadła.

l : y =ax + b - równanie symetralnej odcinka

Wyznaczam równanie prostej k , przechdzącej przez punkty A i B:

k : y = mx + n

{ m + n = 1
{ - m + n = 3

{ n = 2
{ m = - 1

k : y = - x + 2

Prosta k jest prostopadła do prostej l, gdy:

(-1)*a = - 1

a = 1

l : x + b

Wyznaczam środek odcinka.

S = [ (xa + xb/2, (ya + yb)/2]

S = (0,2)

Punkt S należy do prostej l, więc:

b = 2

l : y = x + 2

l : x - y + 2 = 0

c)

Dane:

A =(1,-3)
B = (5, 3)

Symatralna odcinka, to prosta przechodząca przez środek odcnka (S) i do niego prostopadła.

l : y =ax + b - równanie symetralnej odcinka

Wyznaczam równanie prostej k , przechdzącej przez punkty A i B:

k : y = mx + n

{ m + n = - 3
{ 5m + n = 3

{ m = 1,5
{ n = - 4,5

k : y = 1,5x - 4,5

Prosta k jest prostopadła do prostej l, gdy:

1,5* a = - 1

a = - 2/3

l : y = - 2/3x + b

Wyznaczam środek odcinka.

S = [ (xa + xb/2, (ya + yb)/2]

S = (2,0)

2*( - 2/3) + b = 0

b = 4/3

l : y = - 2/3x + 4/3 /*3

l : 3y = - 2x + 4

l : 2x + 3y - 4 = 0