1.Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego , wiedząc że kraw.... Question from @adm908

September 2018 1 40 Report

1.Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego , wiedząc że krawędz jego podstawy ma długość 4 pierwiastek z 2 cm , a krawędz boczna ma długosc 5 cm

2. Krawędz podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 8 cm ,a kąt nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy ma miarę 60 stopni .Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa

svarre

HEj.

Prosiłeś o pomoc, więc pomagam... jak tylko mogę!

Niestety geometria powoduje u mnie dreszcze, zazwyczaj daję sobie radę ze znalezieniem sposobu,w jaki coś obliczyć, ale później niestety gubię się w obliczeniach i nie zawsze to mnie wychodzi dobrze, dlatego pozwolę sobie sprópować dojść do tego jak to wyliczyć, ale już same obliczenia pozostawiam Tobie, nie chcę robić byków!

Zad 1

a=długość boku podstawy=4√2cm

b=długość krawędzi=5cm

h=wysokość boku =?

h=wysokość ostrosłupa=?

Pc=pole całkowite=?

Pb=pole boku=?

Pp=pole podstawy=?

V=objętość=?

Pc=Pp+Pb

z polem podstawy nie ma większego problemu, podstawa jest kwadratem, a zatem jego pole to kwadrat jego boków:

Pp=(4√2)²

gorzej z polem boków, tutaj mamy do czynienia z trójkątem

Pt=⅓ah

znamy a, to nasza długość podstawy,ale potrzebujemy poznać h . Wiemy, że w trójkącie równoramiennym(a z takim mamy do czynienia) wysokość dzieli podstawę na dwa równe odcinki, czyli na połowę(załącznik nr1).

W ten sposób mamy trójkąt prostokątny i znamy długość jego krótszej przyprostokątnej oraz przeciwprostokątnej, teraz pozostaje wyliczyć długość drugiej przyprostokątnej za pomocą twierdzenia Pitagorasa:

$b^{2}=h^{2}+(\frac{1}{2}a)^{2}\\h^{2}=b^{2}-(\frac{1}{2}a)^{2}\\h=\sqrt{b^{2}-(\frac{1}{2}a)^{2}$

czyli w naszym przypadku będzie to wyglądać jakoś tak:

$h=\sqrt{5^{2}-(2\sqrt{2})^{2}$

jak wspomniałem obliczenia pozostawiam lepszym w te klocki.

mamy więc wysokość boku, teraz możemy obliczyć pole boku:

$P_b_1=\frac{1}{3}a*h\\P_b_1=\frac{1}{3}[4\sqrt{2}*\sqrt{5^{2}-(2\sqrt{2})^{2}]$

To daje nam pole jednego bok€, takich boków jest rzacz jasna 4, więc aby uzyskać Pb musimy nasz wynik pomnożyć przez 4, no i możemy już wyliczyć powierzchnię naszego ostrosłupa:

Pc=Pb+Pp

$P_c=4[\frac{1}{3}(4\sqrt{2})*\sqrt{5^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}]+(4\sqrt{2})^{2}$

wiem, to wygląda kosmicznie!

Teraz kolej na objętość naszej figóry:

V=⅓PpH

I tutaj napotykamy kolejny problem, znamy Pp, ale co z wysokością bryły?

Tutaj mamy nic innego jak powtórkę z wysokości boku(patrz zalącznik2, gdzie h=H) Znamy a, znamy h1, a szukamy H, no i mamy trójkąt prostokątny, znowu dzwonimy do Pitagorasa:

$h^{2}=H^{2}+(\frac{1}{2}a)^{2}\\H^{2}=h^{2}-(\frac{1}{2}a)^{2}\\H=\sqrt{h^{2}-(\frac{1}{2}a)^{2}}\\H=\sqrt{(\sqrt{5^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}]$

No a teraz jak znamy już wysokość pozostało już tylko wyliczyć objętość:

$V=\frac{1}{3}(P_p*H)\\V=\frac{1}{3}[(4\sqrt{2})^{2}*\sqrt{(\sqrt{5^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}]$

No i tyle co ja potrafię zrobić z tym zadaniem.

Zad 2

Trochę podobne do poprzedniego zadania, w którym Tobie pomogłem. Oprzyjmy się na rys.2(załącznik2)

a=8cm

α=60°

h=wysokość ostrosłupa=?

h1=wysokość boku=?

Pp=pole podstawy=?

Pb=pole boków=?

V=objętość=?

zacznijmy od wysokości ostrosłupa h, jak widzimy tworzy ona wraz z połową długości podstawy (½a) i wysokością boku (h1) trójkąt prostokątny, o kącie 60°, a z tego wynika, że:

$\frac{h}{\frac{1}{2}a}=tg\alpha60^{o}\\\frac{h}{\frac{1}{2}a}=\sqrt{3}\\h=\frac{1}{2}a*\sqrt{3}\\h=4\sqrt{3}$

Teraz aby obliczyć wysokość boku, która jest trzecim bokiem naszego trójkącika, znowu zawracamy głowę Pitagorasowi:

$(h_1)^{2}=h^{2}+(\frac{1}{2}a)^{2}\\(h_1)^{2}=(4\sqrt{3})^{2}+4^{2}\\(h_1)^{2}=(16*3)+16\\(h_1)^{2}=64\\h_1=\sqrt{64}\\h_1=8$

pokusiłem się o kilka wyliczeń, ale lepiej je sprawdź!!!

No a teraz możemy już wyliczyś resztę, zacznijmy od pola:

$P_c=P_p+P_b\\P_c=a^{2}+4(\frac{1}{3}a*h_1)\\P_c=8^{2}+4[\frac{1}{3}(8*8)]\\P_c=64+\frac{4}{3}*64\\P_c=\frac{7}{3}*64\\P_c=\frac{448}{64}=149,(3)cm^{2}$