Question

1.Oblicz miary kątów rombu wiedząc, że wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli bok rombu na połowy.

2.Jaka jest miara jednego kąta wewnętrznego
a) siedmiokąta foremnego
b) pięciokąta -II-

c) dziesięciokąta -II-

d) dwunastokąta -II-

Ile osi symetrii ma każdy z powyższych wielokątów?

3. Ile maksymalnie kątów prostych może mieć dowolny siedmiokąt wypukły. Narysuj takie wielokąt.

Answer 1

1.

Gdy poprowadzimy wysokość z wierzchołka rombu otrzymamy trójkąt w którym mamy jeden bok rombu a, połowę boku czyli ½a oraz samą wysokość.

Licząc z cosinusa kąt ostry rombu:

cosα=½a/a

cosα=½

α=60⁰

Oznaczmy kąt rozwarty kątem β, wtedy z własności rombu α+β=180⁰

60⁰+β=180⁰

β=120⁰

2.

Wzór na miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego:

180⁰-360⁰/n

gdzie n to ilość boków wielokąta.

a) n=7

α=180⁰-360⁰/7

α=180⁰-51,(42857)=128,(571428)⁰

b) n=5

α=180⁰-360⁰/5

α=180⁰-72=108⁰

c) n=10

α=180⁰-360⁰/10

α=180⁰-36⁰=144⁰

d) n-12

α=180⁰-360⁰/12

α=180⁰-30⁰=150⁰ 

 

Edit: zapomniałem o osiach symetrii, każdy wielokąt foremny ma tyle osi symetrii ile ma boków n, czyli pięciokąt foremny będzie miał 5 osi symetrii, siedmiokąt foremny będzie miał 7, dziesięciokąt for. - 10, dwunastokąt for. - 12

 

3. Tego zadania nie jestem pewny i zapiszę go w trochę dziwny sposób

Wzór na sumę kątów w wielokącie wypukłym:

(n-2)*180⁰ (tu również n jest ilością boków)

(7-2)*180⁰=180⁰*5=900⁰

I tu nie wiedziałem jak to rozpisać, dlatego pozwoliłem policzyć sobie na rozum. Skoro mamy 7 kątów i każdy jest wypukły lub prosty to przedział każdego z nich należy od 90⁰ do 180⁰ (180⁰ byłoby linią prostą).

 

I) Jeżeli mielibyśmy 4 kąty proste to:

4*90⁰=360⁰

900⁰-360⁰=540⁰

540⁰/3=180⁰  (3, ponieważ 4 kąty są proste, a 3 nieznane 7-4=3)

Wychodzi 180⁰, jednak jak wcześniej wspomniałem jest to linia prosta, więc nie może być 4 kątów prostych w takim wielokącie.

 

II) Gdy mamy 3 kąty proste w siedmiokącie wypukłym wtedy:

3*90⁰=270⁰

900⁰-270⁰=630⁰ (dzieląc przez resztę kątów)

630⁰/4=157,5⁰ należy do przedziału od 90⁰ do 180⁰

Odp: W takim wielokącie mogą być maksymalnie 3 kąty proste.