1)Metalowy walec o promieniu podstawy długości 8cm i wysokości 12cm przetopiono na małe stożki o promieniach podstawy długości 4cm i wysokości 3cm. Ile stożków otrzymano? oblicz?
2) Dwie miedziane kulki o średnicach długości 6cm i 10cm przetopiono na jedną kulę. Oblicz pole powieszchni otrzymanej kuli?
3) Oblicz obiętość stożka o polu podstawy 16\pi, jeśli kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120 stopni.
4)Kulę o promieniu długości 13 przecięto płaszczyzna w pewnej odległości od środka tej kuli i otrzymano przekrój o polu powieszchni 144 pi. W jakiej odległości od środka kuli przecięto tę odległość? oblicz?
5) W stożku o wysokości 4cm tworzącą jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 stopni. Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy stożka, przechodząca przez środek wysokości . Oblicz stosunek obiętości części mniejszej do większej.
6)Oblicz wysokość czworościanu foremnego o krawędzi długości 3.
1.Obj walca= Pp*H=pi*8^2*12=2411,52
Obj stożka=1/3 Pp*h=1/3 * pi*4^2*3=50,24
potem obj walca podzielić przez obj stożka i wyjdzie ile stożków się zmieściczyli wychodzi 48
2.r1=6 cm
r2=10 cm
Pk=?
4/3πr³=4/3πr1³+4/3πr2³
r³=r1³+r2³
r³=6³+10³=1216
r=∛1216=10,67cm
Pk=4πr²=1431,63cm²
3.
V=1/3 pi*r kwadrat*h
Pp=pi*rkwadrat=16pi
16pi=pirkwadrat
16=rkwadrat
r=pierwiastek z 16
r=4cm
z zależności trójkąta o miarach kątów: 30,60,90 stopni wynika, że:
r=1/2a=4
a(przeciwprostokątna w trójkącie)= a= 2*4 = 8cm
h=a pierwiastkow z 3 :2=8pierwiastkow z 3:2 = 4 pierwiastki z 3 cm.
V= 1/3 pi r kwadrat h= 1/3 pi * 4 kwadrat * 8 pierwiastkow z 3= 1/3 * 128 pierwiastkow z 3 pi= 42,6666... pierwiastkow z 3 pi cm szesciennego =(w przybliżeniu)= 4,7 pierwiastka z 3 pi cm szesciennych.
5.Dany jest stożek w wysokości h= 4cm,
jego tworząca l jest nachylona do płaszczyzny podstawy
pod kątem α= 30⁰.
Obliczamy promień podstawy r z proporcji trygonometrycznej
{trójkąt prostokątny o przyprostokątnych h i r oraz
przeciwprostokątnej l }
tgα= h/r, stąd r= h/tgα= 4cm/tg30⁰ = 4cm/(√³/₃)= ¹²/√₃ cm
po usunięciu niewymierności z mianownika otrzymujemy
r= ¹²√³/₃ cm = 4√3 cm
Teraz obliczamy objętość stożka:
V= ⅓πr²*h = ⅓π*(4√3 cm)²* 4cm= ⅓π*48cm²* 4cm = 64cm³
Obliczamy promień podstawy mniejszego stożka, w którym
wysokość h₁= ½* 4cm= 2cm {korzystamy z podobieństwa trójkątów}:
r₁= ½r = ½*4√3 cm= 2√3 cm
Teraz obliczamy objętość mniejszego stożka po przecięciu
dużego stożka płaszczyzną równoległą:
V₁= ⅓πr₁²*h₁= ⅓π*(2√3 cm)²*2cm= ⅓π*12cm²* 2cm = 8cm³
Następnie obliczamy objętość części większej po przecięciu
stożka płaszczyzną równoległą {jest to stożek ścięty}:
V₂= V- V₁= 64cm³- 8cm³= 56cm³
Obliczamy stosunek objętości części mniejszej do większej:
V₁: V₂ = 8cm³ : 56cm³
V₁: V₂ = 1 : 7 = ¹/₇
Odp. Stosunek objętości części mniejszej do większej przeciętego stożka wynosi 1:7 = ¹/₇.
6.Odp: Jeżeli wszystkie krawędzie są po 3 cm to wysokość wynosi 3 cm.