Question

Wykaż że dla dowolnych a, b, c ∈ R zachodzą nierówności:
a) a²+b²≥ 2ab
b) ( a≥0 i b≥0) implikacja a +b/2≥pierwiastek z ab
c) a<b implikacja a<a+b/2<b
d) (a>0 i b>0) implikacja 2/1:a + 1:b ≤ pierwiastek z ab
f) a²+b²+2≥2(a+b)

Proszę, także o wytłumaczenie.

Answer 1

A)
(a - b)² ≥ 0 - zawsze
a² -2ab + b² ≥ 0
a² + b² ≥ 2ab

b)
Ponieważ wszystko jest dodatnie ,można lewą stronę podnieść do kwadratu:
(a + b/2)^2 = a² + b²/4 + ab > ab = (√ab)^2

c)
podstaw np:
a = 5
b = 6
b/2 = 3

widać, że nie zachodzi, bo 8 > 6