Question

19. Oblicz pole i obwód trapzu równoramiennego, w którym przekątne przecinają się pod kątem prostem, a podstawy
wynoszą 4cm i 28cm.

20. W trapez równoramienny o obwodzie 40cm wpisano okrąg. Jaką długość ma ramię trapezu ?

21. W rombie dłuższa przekątna tworzy z ramieniem kąt 30 stpni. Oblicz pole i obwód rombu, wiedząc że długość
tej przekątnej wynosi 6cm.

22. Oblicz pole trójkąta równoramiennego o obwodzie 57cm, jeżeli jego ramię jest o 40 % dłuższe od podstawy.

23. W trójkąt rówoboczny o boku 12cm wpisano okrąg. Następnie w ten okrąg wpisano sześciokąt foremny. Oblicz pole
tego sześciokąta.

24. Oblicz odległość boku sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 8cm od środka tego okręgu.

Answer 1

Zad 19

ABCD - trapez równoramienny
AB = 28 oraz CD = 4
Odcinek AC jest prostopadły do odcinka BD
O - punkt przecięcia się przekątnych AC i BD
Kąt AOB jest prosty.Oznaczamy
AO = BO = x oraz CO = DO = y
Mamy
x² + x² = 28²
2 x² = 784
x² = 392
x = √392 = 14 √2,
analogicznie
2 y² = 4² = 16
y² = 8
y = 2 √2
Niech E oznacza środek odcinka AB oraz F środek odcinka CD
EB = AB : 2 = 28 :2 = 14 oraz FC = CD :2 = 4 : 2 = 2
Oznaczmy EO przez h1 , a FO przez h2
Δ EBO jest prostokątny, zatem
(h1)² = x² - 14² = 392 - 196 = 196
h1 = √196 = 14
Δ CFO jest prostokątny, zatem
(h2)² = y² - 2² = 8 - 4 = 4
h2 = √4 = 2
Zauważmy, że
EF = h = h1 + h2 = 14 + 2 = 16
P ={ [28 +4]/2}*16= 16*16 = 256
P = 256 cm²
(BC)² = h² + [(28 -4) :2]² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400
BC = √400 = 20
Obwód =( 2*20 + 28 + 4 ) cm = (40 + 32) cm = 72 cm
Odp. Pole tego trapezu jest równe 256 cm², a jego
obwód 72 cm.

 

Zad 20

jesli w czworokat mozna wpisac okrag to znaczy, ze suma przeciwleglych bokow jest sobie rowna, wiec jesli a-ramie trapezu, b- podstawa dolna c-podstawa gorna
2a+b+c=40
2a=40-(b+c)
2a=b+c
40-(b+c)=b+c
40=2b+2c
40=2(b+c)
20=b+c
2a=b+c
2a=20
a=10

 

Zad 21

e-przekatna I
f-przekatna II
e=√6
P=1/2ef

powstał trojkat prostokatny ktory dzieli e i f na pół
½e/½f=tg30°
½√6:(½f)=√3
√6/f=√3
f=√6:√3
f=√2

P=½ef
P=½√6*√2
P=½√12=½*2*√3=√3cm²

obliczam bok

(½√2)²+(½√6)²=a²
a²=½+3/2=2
a=√2cm
Ob=4a
Ob=4*√2cm

 

Zad 22

a -długość ramienia
b -długość podstawy trójkąta równoramiennego
2a + b =57
a = b +0,4b = 1,4 b
----------------------
2* 1,4b + b =57
3,8 b = 57
b = 57: 3,8 =15
a = 1,4 b = 1,4* 15 =21
0,5 b =7,5
h^2 -21^2 - 7,5^2 = 441 -56,25 =384,75
h = około 16,9
P =[15*16,9] : 2 = 253,5 : 2 = 126,75
Odp.Pole tego trójkąta jest równe 126,75 cm^2

 

Zad 23

W trójkącie równobocznym wysokość jest równa h= a√3/2
Promień r okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy
1/3 h
czyli
r= 1/3h = a√3/6

Mamy promień okręgu. Teraz trójkątem już się nie zajmujemy. Mamy dany okrąg o promieniu jak wyżej i sześciokąt foremny wpisany w ten okrąg.

W tym przypadku r jest równy długości boku sześciokąta( bok sześciokąta oznaczmy jako b)
czyli
r = b = a√3/6
Wzór na pole sześciokąta formenego:
P= 3b² √3/2
P= 3x(a√3/6)² √3/2
P= 3 x a²/12 √3/2
P= 1/4 a² √3/2
P=a²√3/8

 

Zad 24

r=8cm

a=r=8cm

h=a√3/2=8√3/2=4√3cm= szukana odległość

3]

r=15cm

p=πr²=π×15²=225πcm²

 

r=8cm

p=π×8²=64πcm²

 

225π+64π=289πcm²

289π=πr²  /:π

r²=289

r=√289

r=17cm= szukany promień