Question

1. Ile dodatnich liczb całkowitych mniejszych od 1000 można przedstawić w postaci iloczynu dwóch liczb parzystych?

2. Jaki jest promień okręgu wpisanego wycinek koła o promieniu R i kącie 60 stopni.

3. Wewnątrz kwadratu ABCD obrano punkt M w równej odległości od boku CD i od wierzchołków A i B. Jaką część pola kwadratu stanowi pole trójkąta ABM?

4. Przy jednoczesnej pracy dwóch kranów zbiornik można zapełnić w ciągu jednej godziny 20minut. Jeśli pierwszy kran będzie otwarty 10minut a drugi 12minut to napełnią 2/15 zbiornika. Jakim czasie może napełnić zbiornik każdy kran osobno?

5. Zbyszek jest starszy od Mirka jeśli przestawimy obie cyfry liczby całkowitej wyrażającej wiek Zbyszka to otrzymamy wiek Mirka. Ponadto różnica kwadratów liczb wyrażających wiek każdego z nich jest kwadratem liczby całkowitej. Ile lat ma Zbyszek a ile Mirek?

Mile widziane rysunki. Dzięki z góry:)

Answer 1

Zadanie 1
a ∈ <1, 999>
Po pierwsze, liczb nieparzystych nie da się w ten sposób przedstawić (nigdy iloczyn dwóch liczb parzystych nie jest nieparzysty: 2a*2b = 2(2ab)).
Czyli liczby te muszą być postaci 2n, jednak wtedy, jeżeli n jest nieparzyste znowu nie da się znaleźć takich liczb (nieparzysta to musi być nieparzysta razy nieparzysta, czyli dla n nieparzystych nie ma parzystych dzielników).
Ostatecznie liczb musi mieć postać 4n = 2*2n

1 ≤ 4n ≤ 999
1/4 ≤ n ≤ 999/4

ponieważ n naturalne:
1 ≤ n ≤ 249
takich n jest 1 + 249 = 250

zadanie 2
z połowy trójkąta równobocznego:
2r = R - R
r = R/3

zadanie 3
z tw. Pitagorasa:
a² = (b - a)² + (b/2)²
a² = b² - 2ab + a² + b²/4
5b²/4 = 2ab (b≠0)
a = 5b/8

Pt = (b - a)b/2 = (b - 5b/8)b/2 = 3b²/16
Pk = b²

Pt/Pk = 3/16 = 18,75 %

zadanie 4
v₁ - szybkość napełniania basenu przez pierwszy kran
v₂ - szybkość napełniania basenu przez drugi kran
b - objętość basenu

b/(v₁ + v₂) = 1 h 20 min = 4/3 h
v₁*10 min + v₂*12min = v₁ * 1/6 h + v₂ * 1/5 h = 2b/15

b = 4/3 h *(v₁ + v₂) |:(4/3 h)
v₁ * 1/6 h + v₂ * 1/5 h = 2b/15 |:(1/6 h)

3b/4h = v₁ + v₂
v₁ + v₂ * 6/5 = 12b/15h

odejmujemy stronami:
v₂(6/5 - 1) = 12b/15h - 3b/4h = 3b(16/60 - 15/60)/h = 3b*1/60h = b/20h
v₂ = b/20h/(6/5 - 1) = (b/20h)/(1/5) = 5b/20h = b/4h
v₁ = 3b/4h - v₂ = 3b/4h - b/4h = b/2h

pierwszy - 2h
drugi - 4h

zadanie 5
a - pierwsza cyfra wieku Zbyszka
b - druga
10a + b - wiek Zbyszka
10b + a - wiek Mirka

(10a + b)² - (10b + a)² = [(10a + b) - (10b + a)][(10a + b) + (10b + a)] = (9a - 9b)(11a + 11b) = 9*[11(a - b)(a + b)] = 3²*[11(a - b)(a + b)]

11(a - b)(a + b) = c²
11 - liczba pierwsza
a, b - cyfry ≠ 0, a > b
(a - b)(a + b) - podzielne przez 11, ponieważ 11 - liczba pierwsza to a - b lub a + b jest podzielne przez 11, najwięcej a - b = 9 - 1 = 8 co nie jest podzielne przez 11, to a + b jest podzielne przez 11, najwięcej a + b = 9 + 8 = 17, czyli:

a + b = 11
a = 11 - b => b ≥ 2, a > b:
11 - b > b
11 > 2b
b < 5,5
b ≤ 5

Ponieważ a - b kwadrat liczby całkowitej to a - b ∈ {1, 4, 9}
a = b + 1 => a = 6, b = 5 dobrze
a = b + 9 => a = 9, b = 0 źle
a = b + 4 => a = 7,5, źle

Zbyszek: 10a + b = 65
Mirek: 10b + a = 56
jak masz pytania to pisz na pw