Question

W koszu jest n zielonych jabłek i 6 czerwonych. Gdtbyśmy chcieli wyciągnąć 2 bez zwrotu, to prawdopodobieństwo wylosowania zielonych byłoby równe 2/15 i 2<n<10. Oblicz ile wszystkich jabłek jest w koszu?

Answer 1

Łącznie jabłek jest n+6

zdefiniujmy zdarzenia:
A - za pierwszym razem dostajemy jabłko zielone,
B - za drugim razem dostajemy jabłko zielone,
B/A - za drugim razem dostajemy jabłko zielone, pod warunkiem ze zaszlo zdarzenie A [tj. dostaliśmy jabłko zielone w pierwszym ciągnięciu]
AB - iloczyn zdarzeń A i B, tj. w obu ciągnięciach dostajemy jabłko zielone

wówczas:

P(A) = n/(n+6)
P(B/A) = (n-1)/(n+5) [po zajściu zdarzenia A mamy n-1 jabłek zielonych i n+5 jabłek łącznie]
P(AB) = P(A)*P(B/A) = (n²-1)/(n²+11n+30) = 2/15

rozwiązać nalezy równanie kwadratowe:
(n²-1)/(n²+11n+30) = 2/15
dla n ≥ 0 (liczba jabłek zielonych musi być nieujemna) nie mamy problemów w mianowniku lewej strony (tj. mianownik jest rózny od zera), więc mozemy przemnozyć obie strony przez 15*(n²+11n+30)

dostajemy:
15n²-15 = 2n²+22n+60
13n²-37n-60 = 0
Δ = 4489, √Δ = 67
n1 = -1.15 [sprzeczne z załozeniem i to potrójnie, bo ujemne, niecałkowite i nie z przedziału <2,10>]
n2 = 4

w koszu jest razem n+6 = 4+6 = 10 jabłek