Liczby kul białych, niebieskich i czerwonych tworzą- w podanej kolejności- ciąg arytmetyczny o różni.... Question from @CharlieM

September 2018 1 25 Report

Liczby kul białych, niebieskich i czerwonych tworzą- w podanej kolejności- ciąg arytmetyczny o różnicy 2. Spośród tych kul losujemy jednocześnie trzy.Prawdopodobieństwo wylosowania trzech kul, z których każda jest innego koloru wynosi 3/13. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania z tej urny trzech kul, wśród których dwie są tego samego koloru, jeśli wiadomo,że liczba wszystkich kul; w urnie jest nieparzysta.

Roma

Liczba kul białych: b

Liczba kul niebieskich: n

Liczba kul czerwonych: c

b, n, c - ciąg arytmetyczny o różnicy r = 2

Stąd:

n = b + 2

c = n + 2 = b + 2 + 2 = b + 4

Liczba wszystkich kul: b + n + c = b + b + 2 + b + 4 = 3b + 6

Liczba wszystkich kul jest nieparzysta,

więc (3b + 6) jest liczbą nieparzystą,

zatem b musi być liczbą nieparzystą,

bo suma dwóch liczb jest liczbą nieparzystą jeśli jedna liczba jest parzysta, a druga nieparzysta, stąd jeśli 6 jest parzysta, to 3b musi być nieparzysta, a z kolei iloczyn dwóch liczb jest liczbą nieparzystą jeśli oba czynniki są nieparzystych, więc 3 i b są liczbami nieparzystymi.

Zdarzenie elementarne: jednoczesne wylosowanie trzech kul

Liczba zdarzeń elementranych:

$\overline{\overline{\Omega}} = {3b+6\choose 3} = \frac{(3b +6)!}{3! (3b+ 6 - 3)!} = \frac{(3b +6)!}{3! (3b+ 6 - 3)!} = \frac{(3b +6)!}{3! (3b+ 3)!} =$

$= \frac{(3b +3)!(3b + 4)(3b + 5)(3b + 6)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (3b+3)!} = \frac{(3b + 4)(3b + 5)(3b + 6)}{6}$

A - wylosowanie trzech kul, z których każda jest innego koloru

Zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A wynosi:

$\overline{\overline{A}} = b \cdot n \cdot c = b \cdot (b+ 2) \cdot (b + 4)$

Zatem prawdopodobieństwo wylosowania trzech kul, z których każda jest innego koloru jest równe:

$P(A) = \frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}} = \frac{b \cdot (b+ 2) \cdot (b + 4)}{ \frac{(3b + 4)(3b + 5)(3b + 6)}{6}} = \frac{b \cdot (b+ 2) \cdot (b + 4)}{1} \cdot \frac{6}{(3b + 4)(3b + 5)(3b + 6)} =$

$= \frac{b \cdot (b+ 2) \cdot (b + 4)}{1} \cdot \frac{6}{3(3b + 4)(3b + 5)(b + 2)} = \frac{2b(b + 4)}{(3b + 4)(3b + 5)} = \frac{2b^2+8b}{9b^2+27b+20}$

Z treści zadania wiemy, że $P(A) = \frac{3}{13}$ . Zatem:

$\frac{2b^2+8b}{9b^2+27b+20} = \frac{3}{13}$

$13 \cdot (2b^2+8b) = 3 \cdot (9b^2+27b+20)$

$26b^2+104b = 27b^2+81b+60$

$27b^2+81b+60 - 26b^2-104b = 0$

$b^2-23b+60 = 0$

$\Delta = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 529 -240 = 289; \ \sqrt{\Delta} = 17$

$b_1 = \frac{23-17}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$b_2 = \frac{23+17}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$

Zgodnie z założeniem b jest liczbą nieparzystą, zatem b = 3.

Stąd otrzymujemy:

Liczba kul białych: b = 3

Liczba kul niebieskich: n = b + 2 = 3 + 2 = 5

Liczba kul czerwonych: c = b + 4 = 3 + 4 = 7

Liczba wszystkich kul: 3b + 6 = 3·3 + 6 = 9 + 6 = 15

Zatem liczba zdarzeń elementarnych (jednoczesne wylosowanie trzech kul) wynosi:

$\overline{\overline{\Omega}} = {15\choose 3} = \frac{15!}{3! (15 - 3)!} = \frac{15!}{3! \cdot 12!} = \frac{12! \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{6\cdot 12!} = 455$

B - wylosowanie trzech kul, wśród których dwie są tego samego koloru

Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B (czyli suma trzech zdarzeń składowych, czyli wylosowania 2 kul białych i 1 innej, 2 kul niebieskich i 1 innej oraz 2 kul czerownych i 1 innej. Liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu składowemu możemy obliczyć korzystając z reguły mnożenia) wynosi:

$\overline{\overline{B}} = {3\choose 2} \cdot (15 -3) + {5\choose 2} \cdot (15 -5) + {7\choose 2} \cdot (15 -7) =$