1 zadanie
a) Wyznacz a i b jeśli p(x) = q(x)
p(x) = 2x⁵-4x²+5x-3
q(x) = (x-1)(2x⁴+ax³+bx²-2x²+3)
b) Wyznacz a i b jeśli p(x) = q(x)
p(x)= (x²-1)(x²+ax+b)
q(x)= x⁴+x³-x-1
2 zad
w(x) = x³-bx²+ax+b
w(2)= 1
w(1)= 2
1 zadanie
a) Wyznacz a i b jeśli p(x) = q(x)
p(x) = 2x⁵-4x²+5x-3
q(x) = (x-1)(2x⁴+ax³+bx²-2x²+3)
b) Wyznacz a i b jeśli p(x) = q(x)
p(x)= (x²-1)(x²+ax+b)
q(x)= x⁴+x³-x-1
2 zad
w(x) = x³-bx²+ax+b
w(2)= 1
w(1)= 2
zad 1
a) Wyznacz a i b jeśli p(x) = q(x)
p(x) = 2x⁵-4x²+5x-3
q(x) = (x-1)(2x⁴+ax³+bx²-2x²+3)
Z warunku p(x)=q(x) wiadome jest, że jeśli q(x) jest podzielne przez dwumian x-1, to p(x) również musi być podzielne przez ten dwumian (lub inaczej x=1 jest pierwiastkiem wielomianu p(x) i q(x)).
----------------------------
1. Sprawdzam czy x=1 jest pierwiastkiem wielomianu p(x):
p(1)=2*1⁵-4*1²+5*1-3
p(1)=2-4+5-3
p(1)=7-7
p(1)=0
Zatem x=1 jest pierwiastkiem wielomianu p(x) i p(x) jest podzielne przez dwumian
x-1.
----------------------------
2. Dzielenie: p(x):(x-1)
(2x⁵-4x²+5x-3):(x-1)=2x⁴+2x³+2x²-2x+3
-2x⁵+2x⁴
----------
2x⁴-4x²+5x-3
-2x⁴+2x³
-----------
2x³-4x²+5x-3
-2x³+2x²
------------
-2x²+5x-3
2x²-2x
------------
3x-3
-3x+3
----------
0
Wielomian p(x) można zapisać:
p(x)=(x-1)(2x⁴+2x³+2x²-2x+3)
----------------------------
3. Wartości współczynników a i b:
By dwa wielomiany (tego samego stopnia były równe) współczynniki przy odpowiednich zmiennych muszą być równe.
p(x)=(x-1)(2x⁴+2x³+2x²-2x+3)
q(x) = (x-1)(2x⁴+ax³+bx²-2x²+3)
2x³=ax³ |:x³
a=2
2x²=bx² |:x²
b=2
============================
zad 2
b) Wyznacz a i b jeśli p(x) = q(x)
p(x)= (x²-1)(x²+ax+b)
q(x)= x⁴+x³-x-1
W tym przypadku pierwiastkami wielomianów są:
(x²-1)=0
(x-1)(x+1)=0
x=1 lub x=-1
1. Sprawdzam czy x=1 jest pierwiastkiem wielomianu q(x):
q(1)=1⁴+1³-1-1
q(1)=2-2
q(1)=0
Sprawdzam czy x=-1 jest pierwiastkiem wielomianu q(x):
q(-1)=(-1)⁴+(-1)³-(-1)-1
q(-1)=1-1+1-1
q(-1)=0
----------------------------
2. Dzielenie: q(x):(x²-1)
(x⁴+x³-x-1):(x²-1)=x²+x+1
-x⁴+x²
-------
x³+x²-x-1
-x³+x
-------------
x²-1
-x²+1
---------
0
Wielomian q(x) można zapisać:
q(x)=(x²-1)(x²+x+1)
----------------------------
3. Wartości współczynników a i b:
p(x)= (x²-1)(x²+ax+b)
q(x)=(x²-1)(x²+x+1) ax=x |:x a=1 b=1
============================
zad 3
w(x) = x³-bx²+ax+b
Należy rozwiązać układ równań:
{w(2)= 1
{w(1)= 2
---
{2³-2²b+2a+b=1
{1³-1²b+a+b=2
---
{8-3b+2a=1
{1+a=2
---
{a=1
{-3b=1-8-2
---
{a=1
{-3b=-9
---
{a=1
{b=3
Wielomian w(x) ma postać:
w(x) = x³-3x²+x+3