Question

1. Z punktu A leżącego na okręgu o środku O poprowadzono dwie prostopadłe do siebie cięciwy o długości 5 cm i 12cm. Oblicz pole P koła ograniczonego tym okręgiem.

2. Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pole koła jest większe od pola tego kwadratu.

Answer 1

Mamy  a = 5 cm  i    b = 12 cm

Niech

a = I AB I   oraz b = I AC I

Trójkąt ABC jest prostokątny, bo kąt BAC jest prosty.

I BC I = d = 2r

zatem

d^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169

d = p (169 ) = 13

czyli

2r = 13 / : 2

r = 6,5

r = 6,5 cm

----------------

Pole koła ograniczonego tym okręgiem

P = pi *r^2 = pi * ( 6,5 cm)^2 = 42,25 pi  cm^2

=============================================

z.2

L1 - obwód kola

L2  - obwód kwadratu

L1 = L2

zatem

2 pi *r = 4*a / : 2

pi*r = 2*a

r = ( 2 a)/pi

Pola tych figur

P1 - pole kola

P2 - pole kwadratu

P1 = pi r^2 = pi * [ (2a/pi]^2 = pi *[ 4 a^2 /pi^2] = ( 4/pi )* a^2

P2 = a^2

Ponieważ 4/pi > 1 , zatem P1 > P2

================================