Question

1. Z drutu o długości 20 m chcemy zbudować prostopadłościan o podstawie kwadratu. Jakie powinny być wymiary prostopadłościanu, aby jego pole powierzchni bocznej było największe?

2. Zapisz w postaci iloczynowej i ogolnej wzor funkcji kwadratowej wiedzac ze miejscami zerowymi sa liczby 3 i -5 i najmniejsza wartość wynosi -2.

Answer 1

1.

x - długość krawędzi podstawy prostopadłościanu (podstawa jest kwadratem)

z - długość bocznej (wysokości) prostopadłościanu

Pb - pole powierzchni bocznej prostopadłościu

Z treści zadania:

8x + 4z = 20

4z = - 8x + 20 /:4

z = - 2x + 5

Pb = 4xz = 4x·(-2x + 5) = -8x² + 20x

Zatem pole powierzchni bocznej prostoadłościanu jest funkcją kwadratową: f(x) = -8x² + 20x.

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji f(x) są skierowane w dół (a = - 8 < 0), więc wartość największa jest przyjmowana w jej wierzchołku W:

Zatem funkcja przyjmuje największą wartość dla

f(x) = -8x² + 20x; a = -8; b = 20 stąd

Zatem pole powierzchni bocznej prospodałościu będzie największe jeśli jego wymiary wynoszą 1,25 m × 1,25 m × 2,5 m i wynosi ono: 4·1,25·2,5 = 12,5 m².

 

2.

Postać ogólna funkcji kwadratowej: f(x) = ax² + bx + c

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁, x₂ są miejscami zerowymi.

 

x₁ = -5; x₂ = 3; fmin = - 2

Wierzchołek paraboli jest miejscem, gdzie funkcja osiąga ekstremum, czyli otrzymujemy:

Wiemy również, że wartość funkcji dla miejsc zerowych wynosi zero,czyli

f(-5) = 0 i f(3) = 0

stąd otrzymujemy:

Zatem

c = -25a + 5b = - 25a + 5·2a = -25a + 10a = - 15a

c = - 9a - 3b = -9a -3·2a = -9a - 6a = -15a

Podstawiamy do wcześniej wyznaczonego wzoru i otrzymujemy:

b² - 4ac - 8a = 0

(2a)² - 4a·(-15a) - 8a = 0

4a² + 60a² - 8a = 0

64a² - 8a = 0 /:8

8a² - a = 0

a·(8a - 1) = 0

a = 0 ∨ 8a - 1 = 0

a = 0 odrzucamy, bo a ≠ 0

8a - 1 = 0

8a = 1 /:8

a = ⅛

b = 2a = 2·⅛ = ¼

c = - 15a = - 15·⅛ = -¹⁵/₈ = -1⅞

Zatem ogólnej wzór funkcji kwadratowej ma postać: , a postać iloczynowa tej funkcji to: