Question

1. a) Tworząca stożka o długości 6√6 jest nachylona do podstawy po kątem 45*<*-stopni>. Oblicz objętość stożka.
b) Tworząca stożka ma długość 20, a kąt rozwarcia stożka ma miarę 120*. Oblicz objętość stożka.

2. Objętość stożka o wysokości 10 cm wynosi 120π cm³.
a) Oblicz długość promienia podstawy tego stożka.
b) Jaką długość ma tworząca tego stożka?

Proszę tok działania, nie tylko sam wynik.

Answer 1

Zad.1
a) DANE:
l, tworząca - 6√6
α - 45⁰

l = a√2 (korzystamy z własności trójkąta o kątach 90⁰ 45⁰ 45⁰
6√6 = a√2 /√2
a = 6√6 podzielone przez √2
a = (po obliczeniu powyższego działania) - 6√3

wiemy, że "a" to jest też promień jak i wysokość.
to: a = r = H = 6√3

V = ⅓ πr² * H
V = ⅓ π(6√3)² * 6√3
V = ⅓ π * 36 * 3 * 6√3
V = ⅓ π * 108 * 6√3
V = ⅓ π * 648√3
V = 648√3π (podzielone przez trzy- w ułamku)
po skróceniu trójki z 648 wychodzi: 216√3π

b) Nie wiem, ale próbowałam. ;)

zad. 2
a) Korzystamy ze wzoru na objętość.
H - wysokość
V = 120π objętość
120π = dπ * 10 / :10 (d to w tym wypadku średnica)
12π = dπ / :π
d = 12

Liczymy promień czyli połowę średnicy!
d = 2r
12 = 2r / :2
r = 6
PROMIEŃ WYNOSI 6!

b) tworząca - l
z tw. Pitagorasa:
r² + H² = l²
6² + 10² = l²
36 + 100 = l²
136 = l² / √
l = √136 = 2√34 ≈ 11, 7 cm

Answer 2

Zad. 1
a)
Wysokość stożka ("H"), promień podstawy ("r") i tworząca stożka ("l") tworzą trójkąt o kątach: 45*, 45* i 90*. W tym przypadku tworząca stożka to przeciwprostokątna.
W takim trójkącie zachodzą zależności: przyprostokątne, oznaczone literą "a" są takiej samej długości; przeciwprostokątną obliczamy ze wzoru: a√2.
Można więc obliczyć H i r:
l=6√6
l=a√2
czyli:
6√6=a√2
przekształcamy:
a=6√6/√2
i usuwamy niewymierność:
a=6√6/√2 x √2/√2= 6√12/2= 3√12=3x2√3=6√3
W tym przypadku a jest równe H i r.

Mamy teraz wszystkie dane żeby obliczyć objętość ze wzoru:
V=1/3 π r²H
V=1/3 π x (6√3)² x 6√3
V=1/3 π x 108 x 6√3
V=π x 108 x 2√3
V=216 x π x √3