1. Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego ana6=20a10=42. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego an je.... Question from @Mmxm

Mmxm @Mmxm

September 2018 1 30 Report

1. Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego an

a6=20

a10=4

2. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego an jest równy 2 a suma 6 poczatkowych wyrazów tego ciagu wynosi 57

a) oblicz sume dwudziestu początkowych wyrazów ciągu an

b) dla jakiego n liczby a1, a3, an, taworzą ciąg geometryczny?

3. Dany jest ciąg: $a_{n}=\frac{n+1}{n}$

Wyznacz wzór ogólny ciągów $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$

Anonietka

zadanie 1

$a_6 = 20\\ a_{10}= 4\\ a_6 + 4r = a_{10} \\ 20 + 4r = 4\\ 4r = -16\\ r=-4\\ a_1 + 5r = a_6\\ a_1 - 20 = 20\\ a_1 = 40\\ a_n= a_1 + (n-1) \cdot r\\ a_n= 40 + (n-1)(-4) = 40 - 4n + 4 = 44 -4n$

zadanie 2

$a_1 = 2\\ S_6 = 57\\ S_6 = \frac{a_1 + a_6}{2}\cdot 6\\ 57 = \frac{2 + a_6}{2}\cdot 6\\ 57 = (2+a_6)\cdot 3\\ 19 = 2+a_6\\ a_6 = 17$

$a_1 + 5r = a_6\\ 2 + 5r = 17\\ 5r = 15\\ r=3$

$a_{20} = a_1 + 19r\\ a_{20} = 2 + 19\cdot 3 = 2 + 57 = 59\\ S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2}\cdot 20\\ S_{20} = \frac{2+59}{2}\cdot 20 = 61\cdot 10 = 610$

$a_1 = 2\\ a_3 = 2 + 2\cdot 3 = 2 + 6 = 8\\ a_n = 2 + (n-1)\cdot 3 = 2 + 3n - 3 = 3n -1\\ \frac{8}{2} = \frac{3n-1}{8}\\ 8^2 = 2(3n-1)\\ 64 = 6n -2 \\ 6n = 66\\ n=11$

zadanie 3

$a_n = \frac{n+1}{n}\\ a_{n+1} = \frac{n+1+1}{n+1} = \frac{n+2}{n+1}\\ b_n =a_{n+1} - a_{n}$

$b_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} =\\ =\frac{(n+2)n}{n(n+1)} - \frac{(n+1)(n+1)}{n(n+1)} =\\ =\frac{n^2 + 2n}{n^2+n} - \frac{n^2+2n +1}{n^2 + n}=\\ =\frac{-1}{n^2+n}$