Question

1) Wyznacz wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość a

2) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy jest równa 8cm, a krawędź boczna 10cm. Jeden wierzchołek górnej podstawy graniastosłupa połączono z wierzchiłkami podstawy dolnej. Oblicz:

a) długość krawędzi bocznych powstałego ostrosłupa

b) pole powierzchni całkowitej powstałego ostrosłupa

c) ile razy objętośc powstałego ostrosłupa jest mniejsza od objętości graniastosłupa

Answer 1

1.

 

V = 1/3 * a*a * H

 

i wyznaczyć trzeba tylko H (wysokość ostrosłupa) i do tego potrzebna jest d (przekątna kwadratu)

 

układamy Pitagorasa

 

H^2 + (1/2*d)^2 = a^2

d= a*√2

1/2d = a*√2/2

(1/2d)^2 = a*√2/2   *    a*√2/2

(1/2d)^2 = a^2*2/4

(1/2d)^2 =a^2/2

 

H^2 + a^2/2 = a^2

H^2 = a^2/2

H = a√2/2

V = 1/3 * a*a * a * √2/2

V = a^3* √2 /6

 

2.

 

a)

1. krawędź będzie krawędzią graniastosłupa więc = 10 cm

2. i 3. krawędź, to przekątne ścian bocznych, czyli

x^2 = 8^2 + 10^2

x^2 = 164

x = √164 = 2*√41

 

4. krawędź będzie przekątną całego graniastosłupa, co liczymy też z pitagorasa, gdzie jedną przyprostokątną będzie krawędź boczna, a 2. będzie przekątna podstawy

 

a^2 = (8√2)^2 + 10^2

a^2 = 228

a = √228 = 2 √57

 

P = Pole podstawy + 2* połowa pola ściany bocznej + 2* trójkąt wytworzony z przekątnej ściany bocznej, przekątnej graniastosłupa i krawędzi podstawy (te trójkąty też są prostokątne)

 

P = 64 cm^2 + 2 * 1/2 * 8 * 10 + 2 * 1/2 * 8 * 2√41

P = 64 + 80 + 16√41

P = 144 + 16√41

P = 16(9+√41)

 

c)V ostrosłupa = 1/3* a * a * h

V graniastosłupa = a * a * h

więc jest mniejsza 3 razy