Question

1. Wykaż, że wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych.

2. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania jest liczba 1.

Answer 1

1.

Aby wykazać, że wielomian W(x) = x⁴ - 2x³ + 2x² - 6x + 9 nie ma pierwiastków rzeczywistych należy wykazać, że:  x⁴ - 2x³ + 2x² - 6x + 9 > 0 dla x ∈ R

 

x⁴ - 2x³ + 2x² - 6x + 9 = x⁴ - 2x³ + x² + x² - 6x + 9 = x²·(x² - 2x + 1) + (x² - 6x + 9) = x² · (x² - 2x + 1) + (x - 3)²

Musimy wykazać, że otrzymana suma jest dodatnia, czyli

x² · (x² - 2x + 1) + (x - 3)² > 0 dla x ∈ R

 

Sprawdzamy pierwszy składnik sumy

x² · (x² - 2x + 1) > 0

Wyznaczamy miejsca zerowe

x² · (x² - 2x + 1) = 0

x²  = 0 v x² - 2x + 1 = 0

x² = 0

x = 0

x² - 2x + 1 = 0

Δ = (-2)^2 - 4·1·1 = 4 - 4 = 0

x = 2/2 = 1

Zaznaczamy miejsca zerowe 0 i 1 na osi i rysujemy przybliżony wykres zaczynając z prawej strony od góry, bo a = 1 > 0 i wykres "odbija" się od osi w miejscach zerowych, bo pierwiastki są 2-krotne (patrz załącznik).

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności x² · (x² - 2x + 1) > 0:

x ∈ R \ {0; 1}

 

Sprawdzamy drugi składnik sumy

(x - 3)² > 0

Wyznaczamy miejsca zerowe

(x - 3)² = 0

x - 3 = 0

x = 3

Zaznaczamy miejsce zerowe na osi i rysujemy przybliżony wykres paraboli, której ramiona są skierowane w górę, bo a = 1 > 0 (patrz załącznik)

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności (x - 3)² > 0:

x ∈ R \ {3}

 

Zatem x² · (x² - 2x + 1) + (x - 3)² jest dodatnie dla każdego x ∈ R, bo pierwszy składnik jest równy zero dla x = 0 lub x = 1, ale wtedy drugi składnik jest wiekszy od zera, natomiast drugi składnik jest równy zero dla x  = 3, ale wtedy pierwszy składnik jest wiekszy od zera, dla pozostałych liczb rzeczywistych oba składniki sumy są dodatnie, więc ich suma również jest dodatnia, czyli x² · (x² - 2x + 1) + (x - 3)² > 0.

Stąd wynika, że x⁴ - 2x³ + 2x² - 6x + 9 > 0 dla x ∈ R, czyli wieloman W(x) nie ma pierwiastków rzeczywistych.

 

Zad. 2

Sprawdzamy dla jakich wartości parametru m liczba 1 jest pierwiastkiem równania

x³ + m³x² - m²x - 1 = 0

Jeśli x = 1 to otrzymujemy:

1³ + m³·1² - m²·1 - 1 = 0

1 + m³ - m² - 1 = 0

m³ - m² = 0

m² · (m - 1) = 0

m² = 0 v m - 1 = 0

 

m² = 0

m = 0

 

m - 1 = 0

m = 1

 

Zatem dla m = 0 lub m = 1 pierwiastkiem równania x³ + m³x² - m²x - 1 = 0 jest liczba 1.

 

Sprawdzimy dla jakich wartości wyznaczonego parametru m liczba 1 będzie jedynym rozwiązaniem równania x³ + m³x² - m²x - 1 = 0.

 

m = 0

x³ + 0³·x² - 0²·x - 1 = 0

x³ - 1 = 0

x³ - 1³ = 0

(x - 1)(x² + x + 1) = 0

x - 1 = 0 v x² + x + 1 = 0

 

x - 1 = 0

x = 1

 

x² + x + 1 = 0

Δ = 1² - 4·1·1 = 1 - 4 = - 3

równanie nie ma rozwiazań

 

Rozwiązaniem równania x³ - 1 = 0 jest liczba 1.

 

m = 1

x³ + 1³·x² - 1²·x - 1 = 0

x³ + x² - x - 1 = 0

x²·(x + 1) - 1·(x + 1) = 0

(x - 1)(x² - 1) = 0

(x - 1)(x - 1)(x + 1) = 0

(x - 1)²(x + 1) = 0

(x - 1)² = 0 v x + 1 = 0

 

(x - 1)² = 0

x - 1 = 0

x = 1

 

x + 1 = 0

x = - 1

 

Rozwiazaniem równania x³ + x² - x - 1 = 0 są liczby - 1 i 1, czyli liczba 1 nie jest jedynym rozwiązaniem.

 

Odp. Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania x³ + m³x² - m²x - 1 = 0 jest liczba 1, gdy m = 0.