Question

1. Wykaż że n³-1 jest podzielne przez n-1. wskazówka: przedstaw w postaci sumy algebraicznej (n-1)³

2. Pewna liczba ma 4 dzielniki, których średnia arytmetyczna jest równa 10. Znajdź tę liczbę.

3. Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe, które przy dzieleniu przez 7 dają taką samą resztę jak przy dzieleniu przez 13.

4. Liczba 390 jest sumą kwadratów trzech rodzimych?( jakos dziwnie mam zapisane) liczb pierwszych. Znajdź te liczby


Bardzo proszę o pomoc i o zapisanie wszystkich działań . Za najlepsze dam naj;]

Answer 1

1. n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)
Jak się to wymnoży, to wychodzi.
2. Skoro średnia arytmetyczna 4 dzielników, to 10, to ich suma, to 40. Oczywiście jej dzielnikiem jest 1 oraz ona sama. Zatem jeżeli nasza liczba, to a, to 1+a+d1+d2=40, gdzie d1*d2=a. Także a>d1+d2, bo a=d1*d2. zatem a+d1+d2=39, a a+d1+d2<2a, zatem 39<2a, zatem a>=20. Oczywiście także najmniejsza suma jakichkolwiek różnych liczb d1 i d2 większych od 1, to 5. zatem 1+d1+d2>=5, zatem a<=35. Teraz ręcznie sprawdzamy liczby od 20 do 35, które mają co najwyżej 2 nietrywialne dzielniki . To są 21, 26, 27, 34. Z nich pasuje tylko 27, bo istotnie 1+3+9+27=40.
3. Zapiszmy naszą liczbę w postaci 7a+r i 13b+r (mają dawać taką samą resztę), gdzie r>=0 i r<7. Skoro 7a+r=13b+r (w końcu to 2 sposoby zapisania tej samej liczby), to 7a=13b, zatem b jest podzielne przez 7, czyli jest równe albo 0, albo 7, jeżeli będzie większe, to 13b>100, a my szukamy liczb dwucyfrowych. Jeżeli b=0, to r będzie mogło być tylko z przedziału [0, 7], a nie o to nam chodzi. Zatem b=7. Zatem 13b=91, a możliwe liczby, które powstaną z przedstawienia 13b+4, gdzie r>=0 i r<7, to 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97.
4. Gdyby wszystkie te liczby był nieparzyste, to suma ich kwadratów byłaby także nieparzysta, a więc jedną z tych liczb jest 2. Zatem problem sprowadziliśmy do znalezienia liczb pierwszych takich, że suma ich kwadratów jest równa 386. Skoro to zachodzi, to wiemy, że co najmniej 1 kwadrat jest większy niż 193, a więc co najmniej jedna z tych liczb pierwszych jest większa od 13 i oczywiście mniejsza od 20. Zatem mamy kandydatów na większa liczbę pierwszą: 17, 19. Jeżeli jedna z nich to 17, to kwadrat drugiej wyniósłby 97, a pierwiastek z 97 jest niecałkowity, zatem to musi być liczba 19. Istotnie jeżeli jedna z tych liczb będzie 19, to druga będzie 5 i wszystko się zgodzi.
Odp: 2, 5, 19.