Question

1. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekrój płaszczyzną pzechodząca przez wysokości obu podstaw jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa , jeżeli pole tego przekroju jest równe 81 cm2

Answer 1

Rysunek opisze dokladnie, gdyz nie mam aktualnie dostepu do skanera.

 

Podstawa dolna, to trojkat rownoboczny ABC, podstawa gorna odpowiednio A₁B₁C₁.

D - to srodek krawedzi  AB,   D₁ - to srodek krawedzi  A₁B₁ .

a - krawedz podstawy,  h - wysokosc graniastoslupa,  h₁ - wysokosc podstawy.

Przekroj plaszczyzna przechodzaca przez wysokosci obu podstaw, to czworokat  CC₁D₁D, ktory jest kwadratem.

Stad wynika, ze   I CD I = I CC₁ I,  czyli   h₁ = h.  Ponadto   P CC₁D₁D = 81 cm².

 Wiec:   h² = 81    ⇒   h = 9 cm.     Takze    h₁ = 9 cm.

 P c = ?          Pc = 2 Pp + Pb,         Pc = 2 · a² √3 /4 + 3ah

        a√3                   a√3

h₁ = -------  ,         ---------- = 9      /·2

         2                        2

                      a√3 = 18      /: √3

       18            18√3

a = ------- = ----------  =  6√3  cm

        √3             3

                (6√3)² · √3                                  36 · 3√3

Pc = 2 ·  --------------  + 3 · 6√3 · 9 = -----------  + 162√3 = 54√3 + 162√3 =  216√3  /cm²/

                       4                                              2

 

Odp.  Pole powierzchni graniastoslupa jest rowne  216√3  cm²².