Question

1. Rozwiąż równanie:
{3a-5b=-21

{ 7a+4b=-2

2.Mama przygotowała 7 litrów soku, który zamierza rozlać do dwóch rodzajów słoików. Gdyby mama wzieła 10 mniejszych słoików i 5 większych , zostałoby jej jeszcze 0,25l. soku. Gdyby natomiast wzieła 8 mniejszych słoików i 5 większych , to rozlała by 6,15 l. soku. Jaką pojemność mają te słoiki ?

3.Dla jakich wartości m układ równań jest oznaczony , dla jakich nieoznaczony , a dla jakich sprzeczny ?

{3/5x+2/3y=2
{6x-my=20

Answer 1

1

3a-5b=-21 | *4

7a+4b=-2  | *5

 

12a-20b=-84

35a+20b=-10

----------------------

47a=-94 /47

a=-2

 

2.

x - pojemność mniejszego słoika

y - pojemność większego słoika

 

10x+5y=6,75

8x+5y=6,15 | *(-1)

 

10x+5x=6,75

-8x-5x=-6,15

---------------------

2x=0,60 /2

x=0,3

 

10x+5y=6,75

3+5y=6,75 |-3

5y=3,75 /5

y=0,75

 

x - 0,3

y - 0,75

 

Odp. Mniejszy słoik pomieści 0,3l, a większy słoik pomieści 0,75l.

 

3.

3/5x+2/3y=2 | *(-10)
6x-my=20 

 

-6x-20/3=-20

6x-my=20

---------------------

    -20/3my=0

     0=0

układ nieoznaczony (ma nieskończenie wiele równań)

Answer 2

1)   /   3a-5b = -21     / ·4

      /   7a + 4b = -2    / ·5

                  /  12a -20b = -84

             +   /  35a + 20b = -10     

        ---------------------------

                     37a  = -94     /:37

              a = - ⁹⁴/₃₇ = - 2 ²⁰/₃₇

 

3 · (- ⁹⁴/₃₇) - 5b = -21

 

- ²⁸²/₃₇ - 5b = -21

             - 5b = -21 + 7 ²³/₃₇

            - 5b = - 13 ¹⁴/₃₇          /:(-5)

        b = - ⁴⁹⁵/₃₇ · (- ⅕) = ⁹⁹/₃₇ = 2 ²⁵/₃₇

 

Odp.   a = -2 ²⁰/₃₇  ,    b = 2 ²⁵/₃₇

 

2)   x - pojemnosc mniejszego sloika

      y  - pojemnosc wiekszego sloika

           10x + 5y + 0,25 = 7

            8x + 5y = 6,15         /·(-1)

      /   10x +5y = 6,75

   + /    -8x -5y = -6,15

    -------------------------

            2x = 0,6     /:2

               x = 0,3

   8 · 0,3 + 5y = 6,15

   2,4 + 5y = 6,15

       5y = 6,15 - 2,4

       5y = 3,75    /:5

         y = 0,75

Odp.    Mniejszy sloik ma pojemnosc  0,3 litra, a wiekszy   0,75  litra.

 

3)   / ⅗x + ⅔ y = 2         /· 15

      /  6x - my = 20

               / 9x + 10y = 30       

               / 6x -my = 20

   Dyskusje o ilosci rozwiazan zaleznie od parametru m wykonam  metoda wyznacznikow:

             I 9       10 I

    W =  I                I   =  -9m -60 = -3(3m + 20)

             I  6      -m I

 

           I 30   10 I

Wx =  I               I   = -30m -30 = -30(m + 1)

           I 20    -m I

 

           I  9    30  I

Wy =  I               I  =  180 - 180 = 0

           I  6     20 I

 

Uklad jest oznaczony ( ma 1 rozwiazanie) , gdy  wyznacznik  W ≠ 0   ⇒  -3(3m+20) ≠ 0

                                   3m+20 ≠ 0   ⇒   3m ≠ -20  ⇒  m ≠  -²⁰/₃    ⇒   m ≠ - 6⅔

 

Uklad jest nieoznaczony (ma nieskonczenie wiele rozwiazan) , gdy :

       W = 0                    i         Wx = 0            i            Wy = 0

 -3(3m+20) = 0                    -30(m+1) = 0                   0 = 0

     3m+20 =0                             m+1 = 0                       m ∈ R

        3m = -20                              m = -1

           m = -6⅔

         Wszystkie warunki nie moga zaistniec jednoczesnie, dlatego uklad nieoznaczony nie

        istnieje dla zadnego m.

Uklad sprzeczny (brak rozwiazania), gdy:

(  W = 0    i    Wx ≠ 0)             lub        (   W = 0    i       Wy ≠ 0   )

    m= -6⅓    i     m ≠ -1                               m = -6⅔   i   0 ≠ 0

--------------------------                          -----------------------

              m = -6⅔                                               nie zachodzi

 

Odp.   Uklad jest oznaczony   dla  m ≠ -6⅔,   a sprzeczny dla  m = -6⅔.   (nieoznaczony nie

               zachodzi).