Question

1) W ciągu arytmetycznym oraz . Oblicz 21 wyraz ciągu.

2)Które z ciągów: są ciągami geometrycznymi?

3)Pan Jan wpłacił 20 000 zł na lokatę o oprocentowaniu wynoszącym 6% w skali roku. Jaki będzie stan jego oszczędności po upływie 4 lat, jeśli pan Jan nie będzie on dokonywał w tym czasie żadnych wpłat ani wypłat?'

Proszę krok po kroku.

Answer 1

z.1

a4 = - 3   oraz a10 = - 12

zatem

a4 = a1 + 3r = - 3

a10 = a1 + 9r = - 12

-------------------------- odejmujemy stronami

9r - 3r - - 12 - (-3)

6r = - 9

r = - 1,5

=======

a1 = -3 - 3r = -3 - 3*(-1,5) = - 3 + 4,5 = 1,5

a1 = 1,5

=========

a21 =a1 + 20r = 1,5 +20*(-1,5) = 1,5 - 30 = - 28,5

================================================

z.2

Ciągi geometryczne :

bn = 1/2^n

czyli bn+1 = 1/2^(n+1)

zatem

bn+1 : bn = [1/2^(n+1) ] : [ 1 / 2^n] = [ 1 / 2^(n+1)] * 2^n = 1/2

q = 1/2

Jest to ciąg geometryczny o ilorazie q = 1/2 oraz b1 = 1/2

======================================================

en = 2^n * 5^(n - 1) = 2^n * 5^n * (1/5) = (1/5)* 10^n

zatem en+1 = (1/5)*10^(n +1)

oraz en+1 : en = (1/5)*10^(n+1) : (1/5)*10^n = 10

q = 10

Jest to ciąg geometryczny o ilorazie q = 10  oraz e1 = 2

==========================================================

z.3

6 % = 0,06

Stan oszczędności:

Po roku

20 000 + 0,06*20 000 = 20 000 + 1200 = 21 200

Po 2 latach

21 200 * 1,06 = 22 472

Po trzech latach

22 472 * 1,06 = 23 820,32

Po czterech latach

23 820,32 * 1,06 = 25 249,54

===============================

Answer 2

1)Ciąg artymentyczny opisany jest wzorem ogólnym:

, gdzie a₁ to oczywiście wyraz pierwszy, zaś r oznacza tzw. różnicą ciągu. Piszemy teraz jawnie wyrażenie dla wyrazu cwartego i dziesiątego:

Dostaliśmy w ten sposób układ równań, który rozwiązać można poprzez odjęcie pierwszego równania od drugiego:

6r

wstawiamy tak wyznaczoną różnicą ciągu np. do r-nia pierwszego:

wracamy teraz do definicji naszego ciągu i obliczamy wyraz 21-szy.

--------------------------------------------------------------------------------------

2) Ciąg geometryczny to taki, w którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały.

Nie spełnia teog warunku ciąg a_n, gdyż:

rośnie do nieskończoności wraz ze wzrostem n,

W przypadku ciągu b_n:

jest to więc ciąg geometryczny.

W celu udowodnienia, że c_n nie jest ciągiem geometrycznym posłużę się pewnym trickiem. Zakładam, że stosunek kolejnych wyrazów jest równy pownej stałej liczbie C:

równanie ostatnie nie jest prawdziwe dla dowolnego n, wiec stosunek kolejnych wyrazów nie jest stały --> ciąg nie jest geometryczny.

Dla ciągu d_n od razu widać, że nie jest geometryczny:

i to nie jest stałe.

Ostatni ciąg:

zarem jest to ciąg geometryczny

---------------------------------------------------------------------------------------

W każdym następnym roku oszczędzania stan konta wynosi:

jest to zatem ciąg geometryczny o ilorazie 1.06 i wyrazie początkowym 20000 (tyle pieniędzy Pan Jan złożył na koncie):

---------------------------------------------------------------------------------------

pozdrawiam