Question

1. Sześcian i ostrosłup prawidłowy czworokątny mają w podstawie kwadrat o boku długości
10. Wiadomo, że objętość ostrosłupa jest równa objętości sześcianu.
a) Wyznacz wysokość ostrosłupa.
b) Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
c) Wyznacz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
2. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej ma długość 15
cm i tworzy z przekątną graniastosłupa, wychodzącą z tego samego wierzchołka, kąt 30°.
Oblicz objętość graniastosłupa oraz długość jego przekątnej.
3. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości 3 cm. Spodek wysokości
ostrosłupa jest jednym z wierzchołków podstawy. Ściana boczna, która nie zawiera
wysokości ostrosłupa, jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz:
a) wysokość ostrosłupa,
b) objętość ostrosłupa,
c) pole powierzchni całkowitej ostrosłupa,
d) sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa.

Answer 1

1. Sześcian i ostrosłup prawidłowy czworokątny mają w podstawie kwadrat o boku długości 10. Wiadomo, że objętość ostrosłupa jest równa objętości sześcianu.
a= dł. krawedzi podstawy=10
Pp=10²=100
v szescianu=a³=10³=1000
a) Wyznacz wysokość ostrosłupa.
v=1/3 PpH
1000=1/3*100H
H=1000;100/3=30
b) Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
1/2a=5
k=wysokosc sciany bocznej
H²+(1/2a)²=k²
30²+5²=k²
k=√925=5√37
Pb=4*1/2ak=2*10*5√37=100√37
Pc=100(1+√37) j.²
c) Wyznacz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
d=przekatna podstawy=a√2=10√2
1/2d=5√2
c= dł. krawedzi bocznej
H²+(1/2d)²=c²
30²+(5√2)²=c²
c=√950=5√38
sinα=H/c=30/5√38=6√38/38=3√38/19
2. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej ma długość 15
cm i tworzy z przekątną graniastosłupa, wychodzącą z tego samego wierzchołka, kąt 30°.
Oblicz objętość graniastosłupa oraz długość jego przekątnej.
k=przekatna sciany=15cm
a= dł. krawedzi podstawy
h=dł. krawedzi bocznej
D=przekatna bryły
cos 30=k/D
√3/2=15/D
D=30√3/3=10√3cm
sin 30=a/D
1/2=a/10√3
a=5√3cm
Pp=a²=(5√3)²=75
h=√[k²-a²]=√[15²-(5√3)²]=√150=5√6
v=Pph=75*5√6=375√6cm³
3. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości 3 cm. Spodek wysokości
ostrosłupa jest jednym z wierzchołków podstawy. Ściana boczna, która nie zawiera
wysokości ostrosłupa, jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz:
a=dł. krawedzi podstawy=3cm
Pp=a²√3/4=3²√3/4=9√3/4
H=wysokosc bryły
h=wysokosc podstawy=a√3/2=3√3/2
k=wysokosc sciany nie zawierajacej wysokosci
a) wysokość ostrosłupa,
tg45=H/h
1=H/3√3/2
H=3√3/2 cm
b) objętość ostrosłupa,
v=1/3*9√3/4*3√3/2=27/8=3,375 cm³
c) pole powierzchni całkowitej ostrosłupa,
k=h√2=3√3/2√2=3√6/2
pole sciany nachylonej pod katem 45=1/2ak=1/2*3*3√6/2=9√6/4
c= dł. krawedzi bocznej nie bedącej wysokoscią
H²+a²=c²
(3√3/2)²+3²=c²
c=√(63/4)=3√7/2
pole dwóch scian bocznych=2*1/2aH=3*3√3/2=9√3/2
Pc=9√3/4+9√6/4+9√3/2=9√3/4+9√6/4+18√3/4=27√3/4+9√6/4=9/4(3√3+√6)=2,25√3(3+√2)cm²
d) sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa.
suma= 3a+H+2c=3*3+3√3/2+2*3√7/2=9+1,5√3+3√7=1,5(6+√3+2√7) cm