Question

1. Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa: 24 cm. Ile wynosi pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa ?

2.Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości 3 cm jest równa 18 cm³. Jaką wysokość ma ten ostrosłup?

3.Oblicz objętość ostrosłupa, którego podstawą jest romb o przekątnych długości 6cm i 8 cm, a wysokość ostrosłupa stanowi ⅘ długości krawędzi postawy.

5. Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest nachylona do postawy pod kątem α=45⁰. Krawędź podstawy ma długość 4m. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłup.

Answer 1

1. Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa: 24 cm. Ile wynosi pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa ?

a - krawędź czworościanu

Pc = ?

1. Obliczam krawędź a
a = 24cm :6krawędzi
(czworoscian ma 6 krawędzi 3 w podstawie i 3 boczne )
ścianami sa trójkaty równoboczne
a = 4 cm
Pc = ?

2. Obliczam pole podstawy Pp
Pp = ½a*hp
hp = a√3:2
Pp = ½*4cm*4cm*√3:2
Pp = 4√3 cm²
3. Obliczam Pb -pole boczne
1 sciana pola bocznego = polu podstawy
Pb = 3Pp
Pb = 3* 4√3 cm²
Pb = 12√3 cm²

4. Obliczam Pc
Pc = Pp +Pb
Pc = 4√3 cm² + 12√3 cm²
Pc = 16√3 cm²


2.Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości 3 cm jest równa 18 cm³. Jaką wysokość ma ten ostrosłup?

a = 3cm - krawędź podstawy
V = 18 cm³
H = ? - wysokość ostrosłupa

1. Obliczam pole podstawy Pp
Pp= a²
Pp = (3cm)²
Pp = 9cm²
2. Obliczam H
V = ⅓Pp *H
V = 18 cm³
⅓Pp *H = 18 cm³
⅓*9cm²*H = 18 cm³
3 cm² *H = 18 cm³
H = 18 cm³ : 3 cm²
H = 6 cm


3.Oblicz objętość ostrosłupa, którego podstawą jest romb o przekątnych długości 6cm i 8 cm, a wysokość ostrosłupa stanowi ⅘ długości krawędzi postawy.


e = 6 cm
f = 8 cm
H = 4/5a
V = ?

1. Obliczam Pole podstawy Pp ( pole rombu)
Pp = ½e*f
Pp = ½*6cm*8 cm
Pp = 24 cm²

2. Obliczam bok a
a² = (½e)² + (½f)²
a² = (½*6cm)² + (½*8cm)²
a² = 9 cm² + 16 cm²
a² = 25 cm²
a = √25 cm²
a = 5 cm
3.Obliczam wysokość H
H = 4/5 *a
H = 4/5*5cm
H = 4 cm
4. Obliczam objetosć V
V = ⅓Pp*H
V = ⅓*24 cm²*4 cm
V = 32 cm³

5. Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest nachylona do postawy pod kątem α=45⁰. Krawędź podstawy ma długość 4m. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłup.

α = 45° kat nachylenia ściany bocznej ( wysokości) dopodstawy
a = 4 cm - krawędź podstawy
Pc = ?

1. Obliczam pole podstawy ( pole szesciokata)
Pp = ½*3*a²√3
Pp= ½*3*(4cm)²*√3
Pp = ½*3*16cm²*√3
Pp = 24√3 cm²
2. Obliczam H
H : a = tg 45°
H = a*tg 45°
H = 4cm*1
H = 4 cm
3. Obliczam krawędź k
H : k = sin 45°
4cm : k = √2 :2
k = 8:√2
k = (8:√2) * (√2 : √2) Usuwam niewymierność mianownika
k = 4√2 cm
4. Obliczam hb- wysokość sciany bocznej
hb² + (½a)² = k²
hb² = k² - (½a)²
hb² =(4√2)² - 2²
hb² = 8*2 -4
hb= √12
hb = √4*√3
hb = 2√3 cm
5.Obliczam Pole boczne Pb
Pb = 6*½a*hb
Pb = 3*6*½*4*2√3
Pb = 72√3 cm²
6. Obliczam Pc
Pc = Pp + Pb
Pc = 24√3 cm² + 72√3 cm²
Pc = 96√3 cm²