Question

1) Rozwiąż równania
a) 2√2- 4x = 3x+√2
b) 3(x-2) +5 = 3+x(2+3x)
c) 4x - (2x-1)^2 = 4(x+3)^2
d) -6x^2 +7 x=0
e) 3x^2+x - 4 =0
x^2 - 4x +5 =0
f) -2( x+4)(x-3)(x+1)=0
g) x^3-5x ^2 +6x=0
h) x^3-6x^2x - 12=0
2) Rozwiąż nierówności
a) (3x+1)^2≤ 8x - (2- 3x )(2+3x)
b) √3x -5 > 6x+2
c) -2 ( x +3 )(x-2).=0
d) 2x^2 - 4x +3 =0
e) ( x-3)(x+3)>3(x-2)^2 +5

Answer 1

A) 2√2 - 4x = 3x + √2    -> przenosisz wszystko na jedną stronę (zmieniając znaki tych liczb, które przenosisz na przeciwne)
   2√2 - 4x - 3x - √2 = 0
   2 - 7x = 0      -> porządkujesz
   -7x = -2    /:-7
     x = 2/7

b) 3(x - 2) + 5 = 3 + 5(2 + 3x)    -> mnożysz nawiasy
  3x - 6+ 5 = 3 + 10 + 15x   -> teraz porządkujesz
   3x - 1 = 13  + 15x      -> teraz przeniesiemy wszystko na jedną stronę
   3x- 1 - 13 - 15x = 0    -> porządkujemy
   -12x - 14 =0
   -12x = 14  /:-12
   x = -14/12 =-7/6

c) 4x -(2x - 1)² = 4(x+3)²  -> najpierw usuwamy nawiasy, przez zastosowanie wzoru skróconego mnożenia (przypominam: (a+b)² = a² + 2ab + b²
                                                                 (a-b)² = a²- 2ab + b²
  4x -(4x² - 4x + 1) = 4(x² + 6x + 9)  -> teraz wymnożymy liczby przed nawiasem przez nawias, czyli (-) i (4)
4x - 4x² + 4x- 1 = 4x² + 24x + 36  -> teraz uporządkujemy każdą ze stron
4x² + 8x -1 = 4x² + 24x +36    -> przenosimy wszystko na lewą stronę, ze zmianą znaków
4x² + 8x-1-4x² - 24x- 36 = 0  -> teraz to porządkujemy
-16x - 37 = 0
-16x = 37  /:-16
x = -37/16 = -1 5/16

d)  -6x² +7x = 0  -> to jest równanie kwadratowe :P
     a = (-6)  b=7  c=0  -> i liczymy deltę (przypominam wzór: Δ = b² - 4ac)
     Δ = 7² - 4 · (-6) · 0
     Δ = 49     √Δ = 7    -> i liczymy x₁ i x₂ (przypominam wzory: x₁ = -b - √Δ /2a
                                                                                            x₂ = -b + √Δ /2a
x₁ = -7 - 7 / 2· (-6)                    x₂ = -7 + 7 / 2· (-6)
x₁ = -14/ -12                            x₂ = 0/ (-12)
x₁ = 7/6                                  x₂ = 0

e) 3x² + x - 4 =0     -> to kolejne równanie kwadratowe :P
    a=3    b=1  c=(-4)
   Δ = 1 - 4 · 3 · (-4)
  Δ = 1 + 48
  Δ=49     √Δ=7
x₁ = -1 - 7 / 2 · 3                                  x₂ = -1 + 7 / 2 · 3
x₁ = -8 / 6                                           x₂ = 6/6
x₁ = -4/3                                             x₂ = 1

f) x² - 4x +5 =0 
   a=1  b=(-4)  c=5
Δ = (-4)² - 4 · 1· 5
Δ = 16 - 20 
Δ = (-4)   -> przypominam: jeżeli Δ jest ujemna - brak rozwiązania; równanie sprzeczne

g) -2( x+4)(x-3)(x+1)=0 -> to chyba równanie wymierne :P
   (-2x - 8)(x-3)(x+1) = 0 -> teraz przyrównujemy każdy nawias do 0
-2x - 8 =0                  x - 3 = 0                    x + 1 = 0
-2x = 8 /:-2                      x = 3                         x = (-1)
x = (-4)
   Rozwiązaniem są oczywiście wszystkie 3 wyniki :)

h) g) x³- 5x² +6x=0  -> to także równanie wymierne, ale niestety nie potrafię go rozwiązać :( (sprawdź czy nie ma błędu)

i) x³ -6x² - 12=0 -> podobny przykład jak poprzedni.... niestety nie potrafię go zrobić :( sprawdź czy nie ma błędu)

2.)
a) (3x+1)²≤ 8x - (2- 3x )(2+3x)  -> to znowu wzory skróconego mnożenia
                                                 (przypominam trzeci: (a-b)(a+b)= a² - b²
  9x² + 6x + 1 ≤ 8x - (4 - 9x²) -> mnożymy nawias przez - przed nawiasem
  9x² + 6x + 1 ≤ 8x - 4 + 9x²    -> teraz przerzucamy na lewo
  9x² + 6x + 1 - 8x + 4 - 9x² ≤ 0
  -2x + 5 ≤ 0
  -2x ≤ -5 /:(-2)  -> przypominam: kiedy w nierównościach dzielisz przez liczbę ujemną, to zmieniasz znak na przeciwny :)
  x ≥ 5/2     
  x ≥ 2,5  -> nie zapomnij narysować tutaj wykresu :P niestety ja tutaj nie umiem tego zrobić na zadane.pl :(

b) √3x -5 > 6x+2
   √3x - 5 - 6x - 2 > 0
   -4,3x - 7 > 0
   -4,3x > 7 /:-4,3
   x < 7/-4,3

c) -2 ( x +3 )(x-2).=0 -> zawsze najpierw wymnażasz nawiasy
   -2(x² - 2x + 3x - 6) = 0 -> teraz możemy uporządkować w nawiasie
   -2(x² + x -6) = 0  -> teraz mnożymy nawias przez -2
-2x² - 2x + 12 = 0  -> i teraz mamy równanie kwadratowe
a=(-2)    b=(-2)    c=12
Δ = (-2)² - 4 · (-2) · 12
Δ = 4 + 96
Δ = 100      √Δ = 10
x₁ = -(-2) - 10 / 2 · (-2)                                x₂ = -(-2) + 10 / 2 ·(-2)
x₁ = (-8) / (-4)                                            x₂ = 12 / (-4)
x₁ = 2                                                       x₂ = (-3)

d) 2x² - 4x +3 =0
   a=2    b=(-4)    c=3
Δ = (-4)² - 4 · 2 · 3
Δ = 16 - 24
Δ = (-8)  -> wynik ujemny -> brak rozwiązań; równanie sprzeczne

e) ( x-3)(x+3) > 3(x-2)² +5 -> znowu pojawiają się wzory skróconego mnożenia
     x² - 9 > 3(x² - 4x + 4) + 5 -> mnożymy nawias przez 3
   x² - 9 > 3x² - 12x + 12 + 5 -> porządkujemy
x² - 9 > 3x² -12x +17  -> przenosimy wszystko na lewą stronę
x² - 9 - 3x² + 12x - 17 > 0  -> porządkujemy
-2x² + 12x - 26 > 0 -> i znowu nierówność kwadratowa
a=(-2)    b=12    c=(-26)
Δ = 12² - 4 · (-2) · (-26)
Δ = 144 - 208
Δ = (-64) -> brak rozwiązań; równanie sprzeczne