Question

1. Przekątna prostopadłościanu tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt60(stopni). Oblicz V tego prostopadłościanu, wiedząc, że krawędzie podstawy maja długości 4cm i 3cm.
2. Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60(stopni). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli długość krawędzi podstawy jest równa 5cm.

Answer 1

Rysunki do zadań są w załączniku.
Zad. 1
Niebieski trójkąt ma dwa kąty 60* i 90*, więc:
α = 180* - 60* - 90* = 30*
Odcinek x wyliczymy z tw. Pitagorasa z zielonego trójkąta.
x² = 3² + 4²
x² = 9 + 16
x² = 25
x = 5
A teraz z własności trójkąta o kątach 60*, 30* i 90* (czyli tego niebieskiego) wiemy, że jeśli bok naprzeciwko kąta 30* ma x, to druga przyprostokątna ma x√3, a przeciwprostokątna ma 2x. Więc trzecia krawędź ma x√3 = 5√3
Liczymy objętość.
V = 3cm * 4cm * 5√3cm = 60√3 cm³

Zad. 2
To zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego. Zielony trójkąt ma dwa boki 5cm, co oznacza, że jest trójkątem równoramiennym, a do tego prostokątnym, więc ma kąty 45*, 45* i 90* (α=45*). Z własności tego trójkąta wiemy, że jeśli przyprostokątne mają długość x, to przeciwprostokątna ma x√2.
Więc przekątna podstawy ma 5√2. Niebieski trójkąt to ten sam co w poprzednim zadaniu, o kątach 90*, 60* i β=30*, a więc z własności jeśli ten bok naprzeciwko 30* ma 5√2cm (x), to druga przyprostokątna ma 5√2 * √3 = 5√6 (x√3).
Więc pole całkowite to 2 * pole podstawy plus 4 razy ściany o wymiarach 5 na 5√6.
Pc = 2Pp + Pb = 2 * (5cm)² + 4 * 5cm * 5√6cm = 50cm² + 100√6cm²