Question

1) Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do podstawy pod kątem 30 stopni. Krawędź podstawy ma długość 6 cm. Oblicz długość tej przekątnej i wysokość graniastosłupa.
2) Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 20 pierwiastków z 2 i jest nachylona do podstawy pod kątem 45 stopni. Oblicz długość krótszej przekątnej graniastosłupa.
3) Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego nachylona jest do podstawy pod kątem 45 stopni. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 2 cm. Oblicz jego objętość.

Answer 1

Zad1
(a√3)/2=6
Stąd
a√3=12,
czyli
a=4√3.
Długość przekątnej wynosi 4√3{cm}, a drugi bok prostokąta, czyli wysokość graniastosłupa wynosi 2√3(cm)

zad2.
FD'=√((10√3)²+20²)=√700=10√7.

zad3.
a = 2 cm

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny w podstawie ma sześciokąt foremny, który jest zbudowany z 6 trójkątów równobocznych. Dłuższa przekątna tej bryły opiera się na przekątnej podstawy, którą tworzą dwa boki trójkątów. Dzięki informacji o kącie nachylenia przekątnej, otrzymujemy trójkąt o kątach 45, 45 i 90 (trójkąt równoramienny) - z którego wiemy, że przekątna podstawy (2a) jest równa wysokości (H).

H = 2a
H = 4 [cm]

Obliczam objętość:
V = Pp * H
V = 6*(a^2√3/4) * H
V = 6(2^2√3/4) * 4
V = 6 * √3 * 4
V = 24√3 [cm3]

Obliczam pole powierzchni całkowitej:
Pc = Pp + Pb
Pc = 2 * 6(a^2√3/4) + 6aH
Pc = 12(2^2√3/4) + 6 * 2 * 4
Pc = 12(4√3/4) + 48
Pc = 12√3 + 48
Pc = 12(√3 + 4) [cm2]