Question

1. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku a=6cm i kącie (alfa) α=60 stopni.
Krawędz boczna graniastosłupa graniastosłupa b=12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

2.Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędz podstawy (alfa) α=24 cm a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy (alfa)α=45stopni.

3.Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wiedząc, że przekątna podstawy ma 50 cm a krawędz boczna tworzy z ta przekątna kąt 45stopni
_________________________________________________
Za wszystkie poprawnie rozwiązane zadania dam naj :)
Rozwiązania mają być z danymi i szukanymi
_________________________________________________

Answer 1

1.
a = 6cm
H = 12 cm
Pc =?
Pc = 2*Pp+4aH
obliczam pole podstawy:
Pp = a*h (h-wysokość rombu)
ze związków miarowych w tr. prostokątnym o katach ostrych 60 i 30 stopni (po poprowadzeniu wysokości w podstawie otrzymamy tr. prostokątny o katach 90, 60, 30) :
h = 3√3 cm
Pp = a*h
Pp = 6*3√3
Pp = 18√3 cm²

Pc = 2*Pp+4aH
Pc = 2*18√3+4*6*12
Pc = 36√3+288
Pc = 36(√3+8) cm²

2.
w podstawie kwadrat
a = 24 cm
d - przekątna w podstawie
d = a√2
d = 24√2 cm
1/2d = 1/2*24√2 = 12√2 cm
ze związków miarowych w tr. prostokątnym o katach ostrych 45 i 45 stopni:
b = 12√2 *√2
b = 12*2
b = 24 cm (b-krawędź boczna)

obliczam Hb z tw. Pitagorasa
Hb²+(1/2a)² = b²
Hb² = 24²-12²
Hb² = 576-144
Hb² = 432
Hb = √432
Hb = 12√3 cm

Pc = a²+ 4* 1/2*a*Hb
Pc = a²+2aHb
Pc = 24²+2*24*12√3
Pc = 576+576√3
Pc = 576(1+√3) cm²


3.
w podstawie kwadrat
d = 50 cm
1/2d = 1/2*50 = 25 cm
H = 1/2d
H = 25 cm
z tw. Pitagorasa
H²+(1/2d)² = b²
b² = 25²+25²
b² = 625+625
b² = 1250
b = 25√2 cm

obliczam a
d = 50 cm
d = a√2
a√2 = 50 |:√2
a = 50/√2
a = 50√2/2
a = 25√2 cm

obliczam Hb
Hb²+(1/2a)² = b²
Hb² = (25√2)²- (25√2 /2)²
Hb² = 625*2 -
Hb² = 1250- 1250/4
Hb² = 1250-312,5
Hb = √937,5 = √1875/√2
Hb = 25√3 /√2 cm

Pb = 4*1/2a*Hb
Pb = 2*a*Hb
Pb = 2*25√2* 25√3 /√2
Pb = 50*25√3
Pb = 1250√3 cm²

Answer 2

1.
Dane:
a(krawędź podstawy) = 6cm
α(kąt ostry w rombie) = 60*
H(wysokość graniastosłupa)=12cm
Szukane:
Pp(pole podstawy)=?
Pśb(pole ściany bocznej)=?
Obliczenia:
Romb składa się z 4 identycznych trójkątów prostokątnych w których krawędź rombu jest Przeciwprostokątną w tym że trójkącie. Kąty w tych trójkątach (pomijając kąt prosty) mają wartość o połowę mniejszą niż odpowiadające im kąty rombu Zatem w jednym z trójkątów, jeden z kątów ostrych wynosi 30 *
Zatem korzystając z funkcji trygonometrycznych cos 30 *obliczymy jeden z boków:
cos 30 * =1/2 =x/6
2x=6
x=3 Drugi z boków obliczymy z twierdzenia pitagorasa:
6²-3²=y²
36-9=y²
y=√27
Nasze przyprostokątne trójkąta są połowami przekątnych w rombie Zatem Jedna z przekątnych ma f=2√27 a druga e=6
Pole podstawy w rombie korzystając z przekątnych obliczymy wzorem: P= ½f×e
P=½×6×2√27 = 6√27cm² (nasze pole podstawy)
Nasze Pole boczne to pole złożone z 4 prostokątów o miarach 6cm na 12 cm Zatem Pole Boczne wynosi:
Pb=6×12×4= 288cm²
POLE całkowite wynosi 288+12√27cm² (gdyż składa się z pola bocznego i 2 pól podstawy)
2.
Dane:
a(krawędź podstawy)=24
α=45*
Szykane:
Pp=?
Pb=?
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym w podstawie jest kwadrat o boku danym czyli 24cm.
Natomiast jeżeli krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45 * to znaczy że tworzy z połową przekatnej podstawy oraz wysokością ostrosłupa Trójkąt prostokątny równoramienny.(nasze h i połowa przekątnej podstawy wynoszą tyle samo) Przekątna w kwadracie wynosi a√2
czyli nasza przekątna wynosi:
24√2 zatem połowa przekątnej wyniesie 12√2 (czyli tyle samo wynosi nasza wysokość)
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy krawędź boczną ostrosłupa:
c²=(12√2)²+(12√2)²
c²=288+288
c=√576
c=24
Widzimy że krawędź boczna i krawędź podstawy mają tyle samo zatem ściany boczne w tym ostrosłupie są Trójkątami równobocznymi a pole takiego trójkąta wyraża się wzorem:
a²√3/4 czyli:
P=24²√3/4
P=144√3cm²
Pole podstawy=24×24=576cm²
Pole całkowite = 144√3 ×4+576= 576√3+576 cm²
3.
Dane:
x(przekątna podstawy)=50cm
α=45*
Szukane:
b(krawędź ściany bocznej ostrosłupa)=?
a(krawędź podstawy)=?
Pb(pole boczne)=?
h(wysokość ściany bocznej)=?
Zatem sytuacja jest podobna do poprzedniej gdzie połowa przekątnej podstawy(kwadratu) tworzyła z wysokością i krawędzią boczną ostrosłupa Trójkąt prostokątny równoramienny.
naszą krawędź boczną obliczymy zatem z twierdzenia Pitagorasa:
b²=25²+25²
b²=625 + 625
b=√1250
b= 5√50
Teraz należy obliczyć krawędź podstawy. Wiemy że przekątna w kwadracie to a√2 czyli jeżeli u nas wynosi 50 to :
50=a√2
a=50/√2
a=25√2
wysokość ściany bocznej obliczymy z twierdzenia Pitagorasa (potrzeba krawędź boczną ostrosłupa i połowę krawędzi podstawy)
h²=5√50² - 12,5√2²
h²=1250 -312,5
h=√937,5=
Pole boczne = 4 ×½ ×25√2 ×√937,5
Pb=50√1875=250√75 PROSZĘ :)