Question

1) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w kwadrat do pola koła wpisanego w trójkąt równoboczny, jeśli trójkąt i kwadrat mają równe pola.

2) Czy istnieje wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest równa: a) 432, b) 58, c) 96

3) Bok rombu ma długość , a krótsza przekątna . Oblicz pole rombu i miary jego kątów.

Bardzo proszę o pomoc! (bez spamowania)

Answer 1

1.

kwadrat o boku a                   trójkat o boku b

P (kwadratu = a²                   P (trójkata) = b²√3 / 4

 

P (kwadratu) = P ( trójkata)

a² = b²√3 / 4

4a² = √3 b²

2a = √ (√3 b²)

2a = ⁴√3 b

a =1/2 b  ⁴√3

 

 

d = a

2r = a

r = 1/2 a =1/2 *  ( 1/2 b ⁴√3 ) = ( b ⁴√3 ) / 4

P (koła wpisanego w kwadrat) = π r² = π *[ ( b ⁴√3 ) / 4 ]² = π * (b² √3 ) / 16 = (π * b²√3) / 16

 

r = 1/3 * h

r = 1/3 * b√3 / 2

r = b√3 / 6

P (koła wpisanego w trójkat ) = π * (b√3 /6 )² = π * b² * 3) / 36 = (π b²) / 12

 

(π * b²√3) / 16 : (π b²) / 12 = (π * b²√3) / 16  *  12 / (π b²)  =12√3 / 16 = 3√3 / 4   ---- odpowiedź

 

 2.

x = [ n(n-3) ] / 2 ------wzór na ilość przekątnych w n-kacie

 gdzie x ---- ilość przekątnych

           n ---- ilość boków,  n ∈ N

a)

(n(n - 3)) / 2 = 432

n(n - 3) = 864

n² - 3n - 864 = 0

Δ = 9 + 3456 = 3465

√Δ = 58,86.....   ponieważ √Δ wyszedł nam jako liczba niewymierna zatem taki wielokat nie istnieje

 

b)

(n(n - 3)) / 2 = 58

n(n - 3) = 116

n² - 3n - 116 = 0

Δ = 9 + 464 = 473

√Δ = 21,74.........   ponieważ √Δ wyszedł nam jako liczba niewymierna zatem taki wielokat nie istnieje

 

c)

(n(n - 3)) / 2 = 96

n(n - 3) = 192

n² - 3n - 192 = 0

Δ = 9 + 768 = 777

√Δ = 27,87.....   ponieważ √Δ wyszedł nam jako liczba niewymierna zatem taki wielokat nie istnieje

 

3.

d1 = 2√2

a = √5

 

(1/2d1)² + (1/2d2)² = a²

(√2)² + (1/2d2)² = (√5)²

(1/2d2)² = 5 - 2

1/4 d2² = 3    /*4

d2² = 12

d2 = √12 = 2√3

 

P  = 1/2 * d1 * d2 = 1/2 * 2√2 * 2√3 = 1/2 * 4 * √6 = 2√6   -----  pole rombu

 

 sinx = √3 / √5 

sinx = √15 / 5

sinx = 0,7746

x  ≈ 51*

 

kąt rozwarty ---- 2x = 2 * 51* = 102*

kąt ostry -------- 180* - 102* = 78*