1) Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi bocznej równej 8. Ściana boczna jest nachylon.... Question from @SyntiaxD

October 2018 1 74 Report

1) Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi bocznej równej 8. Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod katem 60 stopni.

a) oblicz objętość

b) wyznacz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do podstawy

2) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokatny. Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 60 stopni. Krawędź boczna ma długość 5. Oblicz objętość.

Bardzo proszę o pomoc :)

heh

zad 1

Ostrosłup prawidłowy trójkątny - w podstawie trójkąt równoboczny.

k=8

---------------------------

a) Objętość:

1. Wysokość ostrosłupa:

Spodek wysokości ostrosłupa dzieli wysokość podstawy w stosunku 1:2.

1/3 wysokości podstawy, wysokość ostrosłupa oraz wysokość ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny w którym:

hp/3 i H - przyprostokątne

hś - przeciwprostokątna [wysokość ściany bocznej]

$tg\alpha=\frac{H}{\frac{1}{3}h_{p}}\\ tg60^{0}=\sqrt{3}\\ \sqrt{3}=\frac{H}{\frac{1}{3}h_{p}}\\ H=\frac{\sqrt{3}}{3}h_{p}$

[Po obliczniu wysokości podstawy w 2. punkcie]

$H=\frac{\sqrt3}{3}*\frac{24\sqrt{7}}{7}\\ H=\frac{8\sqrt{21}}{7}$

---------------------------

2. Wysokość podstawy (hp)

2/3 wysokości podstawy, wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny w którym:

2hp/3, H - przyprostokątne

k - przeciwprostokątna [krawędź boczna]

$H^{2}+(\frac{2}{3}h_{p})^{2}=k^{2}\\ (\frac{\sqrt{3}}{3}h_{p})^{2}+(\frac{2}{3}h_{p})^{2}=8^{2}\\ \frac{3}{9}h_{p}^{2}+\frac{4}{9}h_{p}^{2}=64\\ \frac{7}{9}h_{p}^{2}=64\\ h_{p}^{2}=\frac{64*9}{7}\\ h_{p}=\frac{8*3}{\sqrt{7}}\\ h_{p}=\frac{24\sqrt{7}}{7}$

---------------------------

3. Długość krawędzi podstawy:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\ a=\frac{2h\sqrt{3}}{3}\\ a=\frac{48\sqrt{7}*\sqrt{3}}{7}*\frac{1}{3}\\ a=\frac{16\sqrt{21}}{7}$

---------------------------

4. Objętość ostrosłupa:

$V=\frac{PpH}{3}\\ V=\frac{1}{3}*\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}H\\ V=\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*(\frac{16\sqrt{21}}{7})^{2}*\frac{8\sqrt{21}}{7}\\ V=\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*\frac{16*16*21}{49}*\frac{8\sqrt{21}}{7}\\ V=\frac{512\sqrt{63}}{49}\\ V=\frac{512*3\sqrt{7}}{49}\\ V=\frac{1536\sqrt{7}}{49}\ [j^{3}]$

---------------------------------------------------

b) Sinus kąta naczylenia krawędzi bocznej do podstwy

$sin\alpha=\frac{H}{k}\\ sin\alpha=\frac{8\sqrt{21}}{7}*\frac{1}{8}\\ sin\alpha=\frac{\sqrt{21}}{7}$

=============================================

zad 2

Ostrosłup prawidłowy czworokątny - w podstawie kwadrat.

k=5 - krawędź boczna

---------------------------

1. Wysokość ostrosłupa:

1/2 długości podstawy , wysokość ostrosłupa i wysokość ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny w którym:

a/2, H - przyprostokątne,

hś - przeciwprostokątna

$tg\alpha=\frac{H}{\frac{a}{2}}\\ tg60^{0}=\sqrt{3}\\ \sqrt{3}=\frac{H}{\frac{a}{2}}\\ H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

[Po obliczeniu długości krawędzi podstawy w 2. punkcie]

$H=\frac{2\sqrt{5}*\sqrt{3}}{2}\\ H=\sqrt{15}$

---------------------------

2. Długość krawędzi podstawy:

Spodek wysokośći ostrosłupa przecina przekątną podstawy w połowie.

Wysokość ostrosłupa, połowa przekątnej podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny, w którym:

d/2=a√2/2, H - przyprostokątne

k - przeciwprostokątna

$H^{2}+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}=k^{2}\\ (\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}=5^{2}\\ \frac{3}{4}a^{2}+\frac{2}{4}a^{2}=25\\ \frac{5}{4}a^{2}=25\\ a^{2}=20\\ a=2\sqrt{5}$

---------------------------

3. Objętość ostrosłupa:

$V=\frac{PpH}{3}\\ V=\frac{a^{2}H}{3}\\ V=\frac{(2\sqrt{5})^{2}*\sqrt{15}}{3}\\ V=\frac{20\sqrt{15}}{3}\ [j^{3}]$