Question

1. Oblicz sin³α + 3cos³α \ sin α , jeżeli α jest kątem ostrym, a tg α=2

2. Uzasadnij tożsamość sin ² α \ tg² α = 1-sin² α

Answer 1

1. Oblicz  sin³α + 3cos³α \  sin α   , jeżeli α jest kątem ostrym, a

tg α=2

sina/cosa = 2/1

sina = 2cosa

 

sin²a + cos²a = 1

(2cosa)² + cos²a = 1

4cos²a + cos²a = 1

5cos²a = 1

cos²a = 1/5

cosa = √5/5   lub  cosa = -√5/5

Ponieważ kąta aflfa jest katem ostrym to dalej pod uwagę bierzemy tylko tę wartość:

cosa = √5/5

sina = 2√5/5

 

sin³α + 3cos³α \  sin α =

[ (2√5/5)³ + 3 * ( √5/5)³ ] / (2√5/5) = 

[ (8 * 5√5) / 125 + 3 *  5√5/125 ] / (2√5/5) =

[ (8√5) / 25 + 3√5/25 ] / (2√5/5) =

 11√5 / 25  * 5/2√5 = 11/10 = 1,1

 

2. Uzasadnij tożsamość sin ² α \ tg² α = 1-sin²  α

L = sin ² α \ tg² α = sin²a / (sin²a/cos²a) = sin²a * cos²a / sin²a = cos²a = 1 - sin²a = P

 

Answer 2

 

1.

 

tg α=2

 

sinα= 2

cosα

 

sinα = 2cosα

 

 wykorzystujac wlasnosc "jedynke"

 

sin²α+ cos²α = 1

 

(2cosα)² + cos²α = 1

 

4cos²α + cos²α = 1

 

5cos²α = 1

 

cos²α = ⅕

 

cosα = √⅕= √5  lub  cosα = -√⅕= -√5

                     5                               5

 

jeżeli α jest kątem ostrym,to

 

cosα = √5/5

a

 

sinα= 2√5/5

 

 

 

sin³α + 3cos³α=

     sinα

 

(2√5/5)³ + 3 · ( √5/5)³ =

          (2√5/5)

= 8· 5√5/ 125 + 3 · 5√5/125  =

           (2√5/5)

(8√5) / 25 + 3√5/25 =

            (2√5/5)

 

= 11√5 / 25 :(2√5/5)

=11√5 / 25  ·     5/2√5 =

=11/10 = 1,1

 

 

 

2.  sin ² α = 1-sin²  α, 

     tg² α

 

sinα= tgα

cosα

 

                                  

 

L = sin ² α \ tg² α = sin²α / (sin²α/cos²α) =

sin²α ·cos²α / sin²α = cos²α= 1 - sin²α = P   cnu