Question

1. Oblicz, ile wyrazów dodatnich ma ciąg (an) określony wzorem an= -n²+n+12

2. Sprawdz, czy ciąg (an) określony wzorem an= (√3-1)×n +2√3 jest ciągiem arytmetycznym.

Answer 1

 1. 

obliczmy dla jakich n,  an > 0

- n² + n + 12 > 0

Δ = 1 + 48 = 49     √Δ= 7

n₁ =( - 1 - 7 )/- 2 =  4

n₂ ( - 1 + 7 ) / -2 = - 3

ramiona paraboli skierowane w dół, stąd wartości dodatnie przyjmuje dla:

n ∈ ( -3 ; 4 ) , ale n ∈ N⁺  stad

n = { 1 ; 2 ;3 }

odp. ciąg ma trzy wyrazy dodatnie, są to wyrazy a₁,a₂, a₃

 

2.

ciąg jest arytmetyczny gdy  różnica jest stala

 r = an+1  - an

an = (√3-1)n + 2√3

 an+1 = (√3-1)(n+1) + 2√3

r = (√3 - 1) (n+1) + 2√3  - (√3 - 1) n  - 2√3 = (√3-1)(n+1) - (√3-1)n = (√3-1)(n+1-n)= √3-1

r = √3 - 1   jest to stala więc ciag jest arytmetyczny