1. Oblicz a7 i S7 ciągu geometrycznego 2,6,18...2.Pomiędzy 1 oraz 16 wstaw trzy liczby tak ,aby wraz.... Question from @Lala11111

November 2018 1 40 Report

1. Oblicz a7 i S7 ciągu geometrycznego 2,6,18...

2.Pomiędzy 1 oraz 16 wstaw trzy liczby tak ,aby wraz z danymi utworzyly piąć kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego rosnącego.

3.Oblicz dla jakich wartości x liczby 4, x-1,25 tworzą wpodanej kolejności ciąg geometryczny .

4. Udowodnij że ciąg an=2·4 n+2(n+ 2 powinno być u góry za 2) jest ciągem geometrycznym.

Roma

2, 6, 18 - ciąg geometryczny

a₁ =2, a₂ = 6, a₃ =18

$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{2}=3$

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$

$a_7 = 2 \cdot 3^{7-1} = 2 \cdot 3^6 = 2 \cdot 729=1458$

$S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q} \\\\ S_7 = \frac{2 \cdot (1 - 3^7)}{1 - 3} = \frac{2 \cdot (1 - 2187)}{-2} =-(-2186) = 2186$

Odp. a₇ = 1458, S₇ = 2186.

1, a, b, c, 16 - rosnący ciąg geometryczny

1 < a < b < c < 16

Skorzystamy z właśności:

Każdy wyraz ciągu geometrycznego, oprócz pierwszego i ostatniego, jest średnią geometryczną wyrazów sąsiadujących, co możemy zapisać wzorem:

$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$

Stąd:

$a^2 = 1 \cdot b \\\ b^2 = a \cdot c \\\ c^2 = 16 \cdot b$

Zatem:

$\begin{cases} a^2 = 1 \cdot b \\b^2 = a \cdot c\\c^2 = 16 \cdot b \end{cases} \\\\ \begin{cases} a^2 = b \\b^2 = a \cdot c\\c^2 = 16 \cdot a^2 \ /^{\sqrt{}} \end{cases} \\\\ \begin{cases} a^2 = b \\ b^2 = a \cdot c\\c = 4a \ (-4a \ odrzucamy, \ bo \ a >1) \end{cases} \\\\ \begin{cases} a^2 = b \\ b^2 = a \cdot 4a\\c = 4a \end{cases} \\\\ \begin{cases} a^2 = b \\ b^2 = 4a^2 \ /^\sqrt{{}}\\c = 4a \end{cases} \\\\ \begin{cases} a^2 = b \\ b = 2a \ (-2a \ odrzucamy, \ bo \ a >1) \\c = 4a \end{cases}$ $\begin{cases} a^2 = 2a \ /:a, \ a > 1 \\ b = 2a\\c = 4a \end{cases} \\\\ \begin{cases} a = 2 \\ b = 2\cdot 2\\c = 4 \cdot 2 \end{cases} \\\\ \begin{cases} a = 2 \\ b = 4\\c = 8 \end{cases}$

1, 2, 4, 8, 16 - rosnący ciąg geometryczny

Odp. Szukane liczby to: 2, 4, 8.

4, x - 1,25 - ciąg geometryczny

Na podstawie własności ciągu geometrycznego otrzymujemy:

$(x - 1)^2 = 4 \cdot 25 \\\ (x - 1)^2 = 100 \\\ x - 1 = \sqrt{100} \ lub \ x - 1 = - \sqrt{100} \\\\ x - 1 = \sqrt{100} \\\ x - 1 = 10 \\\ x = 10 + 1 \\\ x = 11 \\\\ x - 1 = - \sqrt{100} \\\ x - 1 = - 10 \\\ x = -10+ 1 \\\ x = - 9 \\\\ Zatem: \\\ x = 11 \ lub \ x = - 9$

Stąd otrzymujemy ciągi:

dla x = 11

4, 10, 25 - rosnący ciąg geometryczny o ilorazie q = 2,5

dla x = - 9

4, - 10, 25 - naprzemienny ciąg geometryczny o ilorazie q = - 2,5

Odp. x = 11 lub x = - 9.

$a_n=2^{n+2} \cdot 4$

Aby udowodnić, że ciąg (an) jest ciągiem geoemtrycznym należy wykazać, że iloraz q dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stały (nie zależy od n), zatem:

$a_n=2^{n+2} \cdot 4 = 2^{n+2} \cdot 2^2 = 2^{n+2+2} =2^{n+4} \\\\ a_{n+1}=2^{(n+1)+4} =2^{n+1+4} =2^{n+5} \\\\ q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+5}}{2^{n+4}} =2^{(n+5)-(n+4)} =2^{n+5-n-4} = 2^1 = 2 \\\\ Zatem: \ q = 2$