Question

1. Niech S(h) oznacza powierzchnię całkowitą stożka o ustalonej podstawie r i wysokości h. Znajdź
granicę S(h) za pomocą:
a) rozumowania geometrycznego
b) obliczeń
2 . Niech S(h) oznacza pole powierzchni tej części Ziemi, jaka widoczna jest z wysokości h.
Znajdź limS(h), przyjmując, że Ziemia jest kulą o promieniu R.
h→∞

Answer 1

Zadanie w załaczniku

Answer 2

1. a) Rozwiązanie geometryczne.
Patrząc na przekrój tego stożka, otrzymujemy trójkąt o podstawie r i wysokości h, jak mi możemy wyróżnić bok (lub boki, jeżeli nie jest to stożek prosty), o długości l (lub długościach i ).

Wydłużając wysokość, co możemy zobrazować tworząc kolejne trójkąty o tej samej podstawie, i np. wysokości równej 2h i 3h itd, zauważamy że bok trójkąta też się wydłuża. Można więc wywnioskować że jeżeli h zmierza do nieskończoności, to l także dąży do nieskończoności.

Wracając do stożka, i pamiętając że tworząca stożka jest nieskończona, łatwo można wywnioskować że pole boczne także musi być nieskończone. Pole podstawy się nie zmienia, i jest pomijalnie małe.

Pole całkowite zatem dąży do nieskończoności, gdy h dąży do nieskończoności.

b) obliczenia
Dla r - podstawy, h - wysokości i l - boku trójkąta mamy:
Dla stożka prostego:

gdzie α to kąt pomiędzy r a l.
Dla stożka który nie jest prostokątny:

gdzie x to przesunięcie wierzchołka stożka od centrum podstawy. r i x są stałe, i mają określoną, skończoną wartość.

Skoro α, w trójkącie, może mieć wartość od 0 do 90 stopni, a tgα zmierza w tym przedziale do nieskończoności tylko przy 90 stopniach, można powiedzieć że:

A skoro:

to:

gdy h zmierza do nieskończoności.
Wzór na pole całkowite stożka można zapisać jako:

Pamiętając że w nieskończoności h=l, możemy obliczyć granicę dla l zmierzającego do nieskończoności.

Pierwszy składnik zmierza do zera, więc zostaje:


2.
Rysunek poglądowy w załączniku

Jeżeli poziom wzroku znajduje się na wysokości h, to możemy obliczyć linie horyzontu wyznaczając styczne do kuli na której znajduje się obserwator (zakładając że rozciąga się przed nami powierzchnia płaska, np. jak na morzu).

Styczna jest prostopadła do promienia, i przechodzi przez punkt wyznaczony przez przedłużenie dowolnego r o odległość h. Łącząc punkty styczne ze sobą, otrzymujemy trójkąt, i tak jak w zadaniu pierwszym możemy dowieść że przy nieskończonym h, linia wzroku będzie biec równolegle do średnicy koła (lub płaszczyzny prostopadłej do kierunku oddalania się obserwatora od ziemi, przechodzącej przez jej środek).

Przy h zmierzającym do nieskończoności, tgα będzie zmierzał do nieskończoności, przez co α zmierza do 90 stopni. Kiedy α ma miarę 90 stopni, to promienie których używamy do wyznaczenia stycznych utworzą średnicę.

Stąd wniosek że przy nieskończonym oddaleniu, będzie można zobaczyć dokładnie połowę ziemi (jedną stronę kuli).