Question

√1) jeden z katow trojkata prostokatnego ma 45 °, a jeden z bokow ma dlugosc 10. oblicz pole i obwod tego trojkata

2) jeden z katow trojkata prost. ma miarę 30°, a jeden z bokow tegp trojkata ma dlugosc 20. jaki obwod ma ten trojkat.

3) oblicz pole prostokata o obwodzie 27, w ktorym stosunek dlugosci bokow jest rowny 4:5

4) jakie pole ma kwadrat ktorego przekatna jest o 5 dluzsza od boku.

5) jak obliczyc czy trojkat jest trojkatem prpstokatnym?

a) 20, 26, 32 b) 3√7, 12,9 c) 3√5, 6√2, 3√13,

dziekuje z gory !

Answer 1

z.1

Jeżeli jeden z katów trójkąta prostokątnego ma 45 st, to i drugi kąt ostry

ma 45 st. Mamy trójkąt równoramienny prostokątny.

Jeden z boków ma długość 10.

Jeżeli jest to długość ramienia, to przeciwprostokątna ma długość 10 p(2)

Pole jest wtedy równe

P = (1/2)*10*10 = 50 j^2

=====================

Obwód będzie równy

L = 2*10 + 10 p(2) = 20 + 10 p(2)

===============================

 

Jeżeli tym bokiem jest przeciwprostokątna, to

a^2 + a^2 = 10^2

2 a^2 = 100

a^2 = 50 = 25*2

a = 5 p(2)

Wtedy pole będzie równe

P = (1/2)*5 p(2)*5 p(2) = 25 j^2

===============================

a obwód będzie równy

L = 2* 5 p(2) + 10 = 10 + 10 p(2)

==============================

z.2

alfa = 30 st, to beta = 60 st

Zakładam,ze  a= 20

wtedy

a/c = sin 30 st = 1/2

20/c = 1/2

c = 40

======

b^2 + a^2 = c^2

b^2 = c^2 - a^2 = 40^2 - 20^2 = 1600 -  400 = 1200 = 400*3

b = 20 p(3)

=============

Obwód jest równy

L = a+b + c = 20 + 20 p(3) + 40 = 60 + 20 p(3)

============================================

Zakladam, że b = 20

wtedy

20/c = cos 30 st = p(3)/2

c = 40/p(3) = [ 40 p(3)]/3

a^2 = c^2 - b^2 = [ 40/p(3)]^2 - 20^2 = 1600/3 - 400 = 1600/3 - 1200/3 =

= 400/3

a = 20/ p(3)

==============

Obwód jest wtedy równy

L = a+b + c = 20/p(3) + 20 + 40/p(3) = 20 + 60/p(3) = 20 + 20 p(3)

L = 20 + 20 p(3)

=================

Można by rozpatrzyć jeszcze III przypadek, gdy c = 20

p(3)  - pierwiastek kwadratowy z 3

-----------------------------------------------------------------------------------------

z.3

L = 27

a, b - długości boków prostokąta i niech  a > b

Mamy

L = 2a + 2b = 27

b/a = 4/5

----------------------

4a = 5b

2a = 2,5 b

zatem

2,5 b + 2b = 27

4,5 b = 27

b = 27 : 4,5 =  6

----------------------

2a = 2,5 b = 2,5 *6 = 15

a = 7,5

-------------

Pole prostokąta

P =a*b = 7,5 *6 = 45 j^2

=========================

z.4

a - długość boku kwadratu

a p(2)  - długość  przekątnej kwadratu

Mamy

a p(2) - a = 5

a*[ p(2) - 1] = 5

a = 5/[ p(2) - 1 ]

=================

Pole kwadratu

P = a^2 = 5^2 / [ p(2) - 1]^2 = 25/[2 - 2p(2) + 1] = 25/ [3 - 2p(2)]

P = [ 25*( 3 + 2 p(2))]/[ (3 - 2 p(2))*(3 + 2 p(2))} =

= [ 75 + 50 p(2)] /[ 9 - 8] = 75 + 50 p(2)

P = 75 + 50 p(2)

=================

p(2)  - pierwiastek kwadratowy z 2

=========================

 z.5

Sprawdzamy równość

a^2 + b^2 = c^2

1)  a = 20, b = 26, c = 32

20^2 + 26^2 = 400 + 676 =1076  > 32^2 = 1024

Ten trójkąt nie jest prostokątny.

==============================

2) a =  3 p(7), b = 9  , c = 12

[ 3 p(7)]^2 + 9^2 = 9*7 + 81 = 27 + 81 = 108 < 12^2 = 144

Ten trójkąt nie jest prostokątny

===============================

3)

[ 3 p(5)]^2 + [ 6 p(2)]^2 = 9*5 + 36*2 = 45 + 72 = 117

oraz [ 3 p(13)]^2 = 9*13 = 117

a^2 + b^2 = c^2

Ten trójkąt jest prostokątny .

================================