Question

1) Ile wyrazów ujemnych ma ciąg określony wzorem an=-3(n+1)(n-6)

2) Oblicz trzy początkowe wyrazy ciągu dla którego suma n początkowych wyrazów jest określona wzorem Sn=3n^2.

3) W ciągu arytmetycznym a7=9 i a16=27

a)wyznacz ciąg

b)podaj wyraz ogólny

c)ile wyrazów daje w sumie 60?

4) Sprawdź czy ciąg jest arytmetyczny an= -3n+4

5) W ciągu geometrycznym a3=18 i a5=162 wyznacz ciąg

6) Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (an) jeśli S4=60 q=2

7) Spośród czterech liczb: q, a1, Sn, n oblicz brakującą a1=3, q=-2, Sn=-15

8) Między liczby 2 i 12 wstaw dwie tak aby trzy pierwsze tworzyły ciąg geometryczny a trzy ostatnie ciąg arytmetyczny.

Potrzebuje tych zadań na jutro do godziny 14, liczba punktów którą daje dotyczy rozwiązania wszystkich zadań:)

Answer 1

1

an=-3(n+1)(n-6)

 

-3(n+1)(n-6)>0

-3(n²-6n+n-6)>0

-3n²+15n+18>0=/:3

-n²+5n+6>0

 

Δ = 49

x1 = (-5-7)/-2 = 6

x2 = (-5+7)/-2 = -1 ------------ilość wyrazów  ciagu nie moze być liczbą ujemną 

funkcja ujemna bo ramiona skierowane w dół (minus przy n^2) czyli nasz ciąg ma tylko 6 wyrazów dodatnich i nieskończenie wiele ujemnych

 

3

a7 = 9

a16 = 27

Aby wyznaczyć ciąg musimy obliczyć 1 wyraz tj a1 oraz róznice ciągu r

 

z właściwosci ciągu arytmetycznego

 

a7 = a1+6r

a16 = a1+15r

 

i podstawiamy

 

a1+6r = 9

a1+15r = 27

 

-9r = -18

r=2

 

a1 +12 = 9

a1 = -3

 

an = a1+(n-1)*r = -3+(n-1)*2 = -3+2n-2 = 2n-5 -----------wzór ogólny ciągu

 

Sn = 60

60 = (-3+2n-5)/2 *n

60 = (2n-8)/2 *n

120 = 2n²-8n

2n²-8n -120 = 0 =/:2

n²-4n-60 =0

Δ = 16+240 = 256============√Δ = 16

x1 = (4-16)/2 = -6 ----------------------ilość wyrazów nie może być ujemna

x2 = (4+16)/2 10

czyli suma 10 poczatkowych wyrazów naszego ciągu = 60

 

sprawdzam

a1 = -3

r =2

a10 = a1+9r = -3+18 = 15

 

S10 = (-3+15)/2 *10 = 12/2 *10 = 6*1- = 60

 

4

-3n+4

 

ciag jest arytmetyczny jesli rózżnica r jest stała

policzmy 3 pierwsze wyrazy ciągu

 

n=1

a1 = -3+4 = 1

n=2

a2 = -3*2+4 = -2

n=3

a3 = -9+4 = -5

 

a2-a1 = a3-a2

-2-1 = -5-(-2)

-3 = -3

czyli nasz ciąg jest arytmetyczny. Róznica r = -3

 

5

a3 = 18

a5 = 162

wyznaczyć ciąg tzn obliczyć a1 oraz q

 

z właściwości ciągu geometrycznego

 

a3 = a1*q²

a5 = a1*q⁴

 

a1*q² = 18

a1*q⁴ = 162

 

a1 = 18/q²

18/q² * q⁴ = 162

18q² = 162

q²=9

q = 3 lub q = -3

zatem mamy dwa rozwiazania

q=3 to a1 = 2 lub q=-3 to a1 = 2

 

an = 2*3^n-1 lub an = 2*(-3)^n-1

 

6

S4 = 60

q = 2

 

Sn = a1 *(1-q^n)/1-q ----------------^ potęga

s4 = a1* (1-2⁴)/1-2

60 = a1*(1-16)/-1

-60 = -15a1

a1 = 4

 

 

7

a1=3, q=-2, Sn=-15

 

szukamy n

 

Sn = a1*(1-q^n)/1-q

-15 = 3*(1-9-(2^n)/ 3

-15 = 1-(-2)^n

-16  = -(-2)^n

16 = (-2)^n

n =4

 

 

8

a1 =2

a4 = 12

 

 

a2/a1 = a3/a2 ----------z własciwosci ciągu geometrycznego

a4-a3 = a3-a2 ------------------z właściwości ciągu arytmetycznego

 

a2/2 = a3/a2

12-a3 = a3-a2

 

2a₃ = a²₂

12+a₂ = 2a₃

 

a₃ = (a₂²)/2

12+a₂ = a₂²

 

a²₂ -a₂-12 = 0

Δ = 49

 

x1 = (1-7)/2 = -3

x2 = (1+7)/2 = 4

 

mamy dwa rozwiazania

 

czyli a₂ = 4  i  a₃ = 8

lub a₂ = -3 i a₃ = 4,5

 

2

Sn = 3n²

a1 = S1 = 3

S2 = 3*2² = 12

czyli a2 = S2-S1 = 12-3 =9

S3 = 3*3²= 3*9 = 27

a3 = S3-S2 = 27-12 = 15