Question

1. Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie 3 cm i wysokości opuszczonej na tę podstawę 2 cm. W ten trójkąt wpisano okrąg. Oblicz obwód trójkąta i długość okręgu.

2. W trójkąt równoramienny o kącie rozwartym 120 stopni wpisano okrąg o promieniu 5 cm. Oblicz obwód i pole tego trójkąta.

Proszę o szczegółowe wyjaśnienia :)

Answer 1

1)a=3
h=2 
z pitagorasa (3/2)²+2²=b²
9/4+4=b²
2¼+4=b²
b=√6¼=2½--->dl,ramienia Δ
promien okregu wpisanego r=2P/(a+2b)
PΔ=1/2ah=1/2·3·2=3cm²

to r=2·3/(3+2·2½)=6/(3+5)=6/5=1,2cm

dlugosc okregu wpisanego
l=2πr=2π·1,2=2,4π cmObwod Δ O=a+2b=3+2·2½=3+5=11cm

zad2

wysokosc=h opuszczona na podstawe , dzieli ten Δ rownoramiennyo , na 2 takie same Δ prostokatne o katach, 60,30,90 stopni wyniika stad ze:wynika stad ze:
wyskokosc =h
2h---->dl. ramienia
h√3 --->½podstawy   to  cala podstawa 2h√3 
czyli 
PΔ=½·2h√3·h=h²√3 cm²
wiadomo ze promien okregu wpiszanego ma r=5 cm
wzor na r=2P/(a+b+c)

czyli
5=(2·h²√3)/(2h√3+2·2h)
5=(2h²√3)/(2h√3+4h)
2h²√3=5(2h√3+4h)
2h²√3=10h√3+20h  /:2
h²√3=5h√3+10h     /:h
h√3=5√3+10
h=(5√3+10)/√3=(5√3+10)·√3/3=(15+10√3)/3

to podstawa  trojkata  2h√3=2(15+10√3)/3 ·√3=(30√3+30)/3=10√3+10
zatem pole trojkata po podstawieniu wynosi :
PΔ=1/2·(10√3+10)·(15+10√3)/3=(150√3+150+300+100√3)/6=(250√3+450)/6=(125√3+225)/3 cm²

a ramie Δ ma dlugosc 2h=2·(15+10√3)/3=(30+20√3)/3

obwod trojkata wynosi :
OΔ=2h+2h√3=2h(1+√3)=(30+20√3)/3·(1+√3)=(30+20√3+30√3+60)/3=(90+50√3)/3 cm