Question

1. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 4cm, a krawędź boczna nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem
75˚. Oblicz pole powierzchni i objętość tego ostrosłupa. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.
2. Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną zawierającą wysokość i krawędź boczną ostrosłupa. Przekrojem jest trójkąt równoboczny o polu 8√3 cm2. Oblicz objętość ostrosłupa.
3. Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny. Objętość prostopadłościanu jest równa 8cm3, a jego pole powierzchni całkowitej 28cm2. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu.
4. Ściany prostopadłościanu o wspólnym wierzchołku mają pola powierzchni odpowiednio równe P1, P2, P3. Wykaż, że objętość tego prostopadłościanu jest równa √P1xP2xP3

Answer 1

1. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 4cm, a krawędź boczna nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 75˚. Oblicz pole powierzchni i objętość tego ostrosłupa. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.
a=dł. krawedzi podstawy=4cm
Pp=a²=4²=16
c=dł. krawedzi bocznej
d=przekatna podstawy=a√2=4√2
1/2d=2√2
H=wysokosc bryły
tg75=H/1/2d
3,7321=H/2√2
H=3,7321*2√2≈10,56
v=1/3*16*10,56≈56,30cm³
1/2a=2cm
k=wysokosc sciany bocznej
z pitagorasa;
k=√[H²+(1/2a)²]=√[10,56²+4]=√115,5136≈10,75
Pb=4*1/2ak=2*4*10,75≈86
Pc=16+86≈102cm²

2. Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną zawierającą wysokość i krawędź boczną ostrosłupa. Przekrojem jest trójkąt równoboczny o polu 8√3 cm2. Oblicz objętość ostrosłupa.
x=dł. krawedzi podstawy bryły
a= dł. boku przekroju
bok przekroju to przekatna d podstawy
h przekroju to wysokosc H bryły
PΔ=a²√3/4=8√3    /*4
a²√3=32√3
a=√32=4√2

a=x√2
x√2=4√2
x=4
Pp=x²=4²=16
H=H=a√3/2=4√2√3/2=2√6
v=1/3PpH=1/3*16*2√6=32√6/3 cm³

3. Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny. Objętość prostopadłościanu jest równa 8cm3, a jego pole powierzchni całkowitej 28cm2. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu.
a,b,c=dł. krawedzi
2ab+2ac+2bc=28    /;2
ab+ac+bc=14

abc=8
b=aq
c=aq²
a*aq*aq²=8
a³q³=8
(aq)³=8
aq=∛8
aq=2
/////////////
czyli b=2
/////////////////////
a²q+a²q³+a²q²=14
a²q(1+q²+q)=14
skoro aq=2, więc;
2q²-5q+2=0
Δ=25-16=9
q=[5-3]/4=1/2  lub  q=  [5+3]/4=2
dla q=2                2a=2            a=1     aq=2      aq²=4
dla q=1/2            1/2a=2        a=4        aq=2        aq²=1

d²=a²+a²q²+a²q^4
d²=a²(1+q²+q^4)
d²=1²(1+2²+2^4)
d²=21
d=√21

dla q=1/2
d²=a²(1+q²+q^4)
d²=4²(1+1/4+1/16)
d²=16(16/16+4/16+1/16)
d²=16*21/16
d²=21
d=√21

4. Ściany prostopadłościanu o wspólnym wierzchołku mają pola powierzchni odpowiednio równe P1, P2, P3. Wykaż, że objętość tego prostopadłościanu jest równa √P1xP2xP3
a,b,c=dł. krawedzi
P1=ab
P2=bc
P3=ac
P1*P2*P3=ab*bc*ac=a²b²c²=(abc)²
(abc)²=P1P2P3
abc=√[P1P2P3]

v=abc=√[P1P2P3]  cnu