Question

1. Dany jest kwadrat ABCD oraz trójkąt równoboczny AED, punkt E należy do wnętrza kwadratu. Wyznacz miarę kąta BEC.

2. W trójkącie równobocznym zawiera się kwadrat o boku 1. Dwa wierzchołki kwadratu leżą na podstawie, a pozostałe w środku ramion trójkąta. Oblicz długości ramion

i pole tego trójkąta.

Answer 1

ROZWIĄZANIE W ZAŁĄCZNIKU

Answer 2

1.

ADCD - kwadrat

AED - trójkąt równoboczny, zatem miara kątów wewnetrzynych wynosi 60°, czyli |∢α| = 60°

BAE i CDE - trójkąty równoramienne, w których miara kąta β między ramionami wynosi: |∢β| = 90° - |∢α| = 90° - 60° = 30°

W Δ równoramiennym kąty γ przy podstawie są równe, więc ich miara wynosi:

|∢γ| = (180° - |∢β|) : 2 = (180° - 30°) : 2 = 150° : 2 = 75°

stąd miara kąta BEC wynosi:

|∢BEC| = 360° - (|∢α| + 2· |∢γ|) = 360° - (60° + 2 · 75°) = 360° - (60° + 150°) = 360° - 210° = 150°

Odp. Miara kąta BEC wynosi 150°.

 

2.

Wydaje mi się, że trójkąt ABC jest równoramienny, a nie równoboczny

 

P - pole trójkąta równoramiennego ABC

długość podstawy trójkąta równoramiennego ABC: |AB|

długość boku kwadratu wpisanego w ΔABC: |HE|=|EF|=|FG|=|HG| = 1

długość ramion trójkąta równoramiennego ABC: |BC| = |AC|

długość wysokości trójkąta równoramiennego ABC: |CD|

 

Skorzystamy z tw.: Jeżeli w dowolnym trójkącie połączymy środki dowolnych dwóch boków, to powstały odcinek jest równoległy do trzeciego boku i jego długość jest równa połowie długości boku trzeciego.

Zatem

HG || AB

|HG| = ½·|AB|

|AB| = 2·|HG| = 2 · 1 = 2

 

trapez ABGH jest równoramienny, stąd

|AE| = (|AB| - |EF|) : 2 = (2 - 1) : 2 = 1 : 2 = ½

|HE| = 1

ΔAEH - Δprostokątny, zatem

(|AH|)² = (|AE|)² + (|HE|)²

(|AH|)² = (½)² + 1²

(|AH)² = ¼ + 1

(|AH|)² = ⁵/₄

|AC| = 2 · |AH| (bo H to środek boku AC, czyli |AH| = |HC|)

|BC| = |AC| = √5

 

ΔADC - Δprostokątny

|AD| = ½ · |AB| = ½ · 2 = 1

zatem

(|CD|)² = (|AC|)² - (|AD|)²

(|CD|)² = (√5)² - 1²

(|CD|)² = 5 - 1

(|CD|)² = 4

|CD| = 2

 

P = ½ · |AB| · |CD|  = ½ · 2 · 2 = 2

 

Odp. Długość ramion trókąta ABC wynosi √5, a jego pole 2.