1. Dany jest ciąg arytmetyczny o wzorze an = 6n - 2. który wyraz tego ciągu wynosi 238? oblicz sumę .... Question from @ewuuss

October 2018 1 27 Report

1. Dany jest ciąg arytmetyczny o wzorze an = 6n - 2. który wyraz tego ciągu wynosi 238? oblicz sumę 32 początkowych wyrazów

2. Liczby 4,y,25 w tej kolejności są trzema pierwszymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu

3. w ciągu geometrycznym czwarty wyraz wynosi 24, a szósty 96. Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu i jego iloraz

4. Dwie dziewczynki i czterech chłopców siadają w jednym rzędzie. Na ile sposobów mogą to zrobić, żeby dziewczynki siedziały obok siebie?

5. W urnie jest 6 kul białych i 4 czarne. Losujemy bez zwracania 2 kule. Narysuj drzewo tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kul będzie przynajmniej jedna kula biała.

Roma

Zad. 1.

(an) - ciąg arytmetyczny

an = 6n - 2

an = 238

6n - 2 = 238

6n = 238 + 2

6n = 240 |:6

n = 40

Suma 32 początkowych wyrazów ciągu

Sn = n · (a₁ + an) / 2

an = 6n - 2

a₁ = 6·1 - 2 = 6 - 2 = 4

a₃₂ = 6·32 - 2 = 192 - 2 = 190

S₃₂ = 32 · (4 + 190) / 2 = 16 · 194 = 3104

Odp. Czterdziesty wyraz ciągu wynosi 238, suma 32 początkowych wyrazów wynosi 3104.

Zad. 2.

q - iloraz ciągu geoemtrycznego

n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

4, y, 25 - ciąg geometryczny

Z właśności ciągu geometrycznego:

y² = 4 · 25

y² = 100

y₁ = 10 lub y₂ = - 10

Jeśli y = 10 to otrzymujemy ciąg geometryczny:

4, 10, 25

a₁ = 4, a₂ = 10, a₃ = 25

q = a₂ / a₁

q = 10 / 4 = 2,5

$a_n = 4 \cdot (2,5) ^{n-1} = 4 \cdot \frac{(2,5)^n}{2,5} = 1,6\cdot (2,5)^n$

$a_5 = 1,6\cdot (2,5)^5 = 1,6 \cdot 97.65625 = 156,25$

Jeśli y = - 10 to otrzymujemy ciąg geometryczny:

4, - 10, 25

a₁ = 4, a₂ = - 10, a₃ = 25

q = a₂ / a₁

q = - 10 / 4 = - 2,5

$a_n = 4 \cdot (- 2,5) ^{n-1} = 4 \cdot \frac{(- 2,5)^n}{-2,5} = - 1,6\cdot (- 2,5)^n$

$a_5 = - 1,6\cdot (- 2,5)^5 = 1,6 \cdot (- 97.65625) = 156,25$

Odp. Iloraz ciągu wynosi 10 lub - 10, a jego piąty wyraz 156,25.

Zad. 3.

(an) - ciąg geometryczny

n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

a₄ = 24

a₆ = 96

$\left \{ {{a_1 \cdot q^{4-1} = 24} \atop {a_1 \cdot q^{6-1} = 96}} \right.$

$\left \{ {{a_1 \cdot q^3 = 24 \ / :q^3} \atop {a_1 \cdot q^5 = 96 \ / :q^5}} \right.$

$\left \{ {{a_1= \frac{24}{q^3}} \atop {a_1= \frac{96}{q^5}}} \right.$

$\frac{24}{q^3}} = \frac{96}{q^5}$

$24q^5= 96q^3 \ /: 24Q^3$

$q^2 = 4$

$q_1 = 2 \ lub \ q_2 = - 2$

$\left \{ {{a_1= \frac{24}{q^3}} \atop {q = 2}} \right. \ lub \ \left \{ {{a_1= \frac{24}{q^3}} \atop {q = - 2}} \right.$

$\left \{ {{a_1= \frac{24}{2^3}} \atop {q = 2}} \right. \ lub \ \left \{ {{a_1= \frac{24}{(-2)^3}} \atop {q = - 2}} \right.$

$\left \{ {{a_1= \frac{24}{8}} \atop {q = 2}} \right. \ lub \ \left \{ {{a_1= \frac{24}{-8}} \atop {q = - 2}} \right.$

$\left \{ {{a_1= 3} \atop {q = 2}} \right. \ lub \ \left \{ {{a_1=-3} \atop {q = - 2}} \right.$

Odp. Pierwszy wyraz ciągu wynosi 3, a iloraz ciągu 2 lub pierwszy wyraz ciągu wynosi - 3, a iloraz ciągu - 2.

Zad. 4.

Dwa sąsiednie miejsca, na których usiądą dwie dziewczynki możemy wybrać na 5 sposobów. Na ustalonych miejscach dwie dziewczynki mogą usiąść na dwa sposoby, a chłopcy mogą usiąść zupełnie dowolnie, czyli na 4! sposobów. Zatem dwie dziewczynki mogą usiąść na: 5 · 2 · 4! = 5 · 2 · 1 · 2 · 3 · 4 = 240 sposobów.

Odp. Aby dziewczynki siedziały obok siebie mogą to zrobić 240 sposobów.

Zad. 5.

Ω - nieuporządkowane pary wylosowanych kul

A - wylosowano przynajmniej jedną biała kulę

Drzewo doświadczenia - załącznik

P(A) = ⁶/₁₀ · ⁵/₉ + ⁶/₁₀ · ⁴/₉ + ⁴/₁₀ · ⁶/₉ = ¹/₃ + ⁴/₁₅ + ⁴/₁₅ = ⁵/₁₅ + ⁴/₁₅ + ⁴/₁₅ = ¹³/₁₅

Odp. Prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kul będzie przynajmniej jedna kula biała wynosi ¹³/₁₅.