Question

1. Dana jest liczba całkowita a. Uzasadnij ,że conajmniej jedna z liczb a³ - a lub a³ + a jest podzielna przez 10.

2.Ojciec i jego dwaj synowie mają razem 120 lat. Przed 5 laty starszy syn miał 2 razy tyle lat co brat młodszy i połowę tego co ojciec. Ile lat ma ojciec a ile synowie?

3.Dnie operatorki komputera przepisują pracę dyplomową. Jedna z nich może przepisać całą pracę w ciągu 6h, druga w czasie 8h. Jaka część pracy dyplomowej zostanie do przepisania, jeśli obie będą pracować jednocześnie, ale tylko przez 3h.

Answer 1

1. Dana jest liczba całkowita a. Uzasadnij ,że conajmniej jedna z liczb a³ - a lub a³ + a jest podzielna przez 10.
a³ - a =a(a²-1)=(a-1)*a*(a+1) Wniosek posrod liczb
(a-1),a,(a+1) musi byc jedna parzysta
mozliwosci: p,n,p lub n,p,n

Wystarczy wykazac a³ + a jest podzielna przez 5
a³ + a =a(1+a²)
a ..|..a²..|1+a²
----+-------+-----
1...|1......|2
2...|4......|5
3...|9......|10
4...|16.....|17
5...|25....|26
6...|36....|37
7...|49....|50
8...|64....|65
9...|81....|82
10..|100...|101
11..|121...|102
12..|144...|145
13..|169...|170
....
z w/w widac ze posrod 3-ech kolejnych liczb z wyjatkiem
liczby z cyfra jednosci 5 jest liczba podzielna przez 5

jezeli cyfra jednosci jest 5 to nastepna jest parzysta
co daje podzielnosc przez 10



2.Ojciec i jego dwaj synowie mają razem 120 lat. Przed 5 laty starszy syn miał 2 razy tyle lat co brat młodszy i połowę tego co ojciec. Ile lat ma ojciec a ile synowie?

x-ojciec
y-starszy syn
z-mloszy syn

x+y+z=120
y-5=2(z-5)→y-5=2z-10→z=(y+5)/2
y-5=(x-5)/2→2y-10=x-5→x=2y-5
podstawiam do (1)

2y-5+y+(y+5)/2=120 razy 2
4y-10+2y+y+5=240
7y=245
y=245/7=35
x=2y-5=70-5=65
z=(y+5)/2=40/2=20

Sprawdzam x+y+z=65+35+20=120 OK

ODP
ojciec 65
starszy syn 35
mlodszy 20





3.Dnie operatorki komputera przepisują pracę dyplomową. Jedna z nich może przepisać całą pracę w ciągu 6h, druga w czasie 8h. Jaka część pracy dyplomowej zostanie do przepisania, jeśli obie będą pracować jednocześnie, ale tylko przez 3h.

licze wydajnosc /cz. pracy wykonana w ciagu 1h/

1-sza operatorka w1=1/6
2-ga operatorka w2=1/8

w ciagu 3-ech godzin wykonaja czesc pracy
3*w1+3*w2=3/6+3/8=12/24+9/24=21/24=7/8

pozostalo do wykonania 1-7/8=1/8

ODP
Jeśli obie będą pracować jednocześnie, ale tylko przez 3h. pozostanie do wykonania 1/8 pracy

Pozdrawiam
Hans

PS.

Ja usunalem poprzednie bzdurne rozwiazanie

Hans