Question

Znaleźć granicę:

lim (pierwiastek z n)√(1 + 2^n + 5^-n)

>> (wszystko jest pod pierwiastkiem) <<

Answer 1

Oznaczenie:
sqrt[n](a) -> pierwiastek n - tego stopnia z "a".

Zauważmy, że
sqrt[n](1 + 2^n + 5^(-n) ) ≤ sqrt[n](1 + 2^n + 1) ≤ sqrt[n](2^n + 2^n + 2^n)

lim sqrt[n](2^n + 2^n + 2^n) = lim sqrt[n](3 * 2^n) = lim sqrt[n](3) * lim sqrt[n](2^n) = 1 * 2 = 2

Ponadto:
sqrt[n](1 + 2^n + 5^(-n)) ≥sqrt[n](2^n)
lim sqrt[n](2^n) = 2

Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach
lim sqrt[n](1 + 2^n + 5^(-n)) = 2

W razie pytań pisz na priv.